人教A版高中数学选择性必修第一册课后习题 第3章 圆锥曲线的方程 3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质.docVIP

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3.1.2椭圆的简单几何性质

第1课时椭圆的简单几何性质

课后训练巩固提升

A组

1.椭圆25x2+9y2=225的长轴长、短轴长、离心率依次是()

A.5,3,0.8 B.10,6,0.8

C.5,3,0.6 D.10,6,0.6

解析:椭圆方程可化为x29+y2

答案:B

2.以椭圆x225+

A.x227+y

C.x2100+y

解析:∵椭圆x2

∴所求椭圆的焦点在y轴上,且c=3.

又e=ca=12,∴a=6.∴b2=a

∴所求椭圆方程为x2

答案:A

3.设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则该椭圆的离心率为()

A.22 B.2

C.2-2 D.2-1

解析:由已知得|PF2|=2c,∴|PF1|=22c.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a,即22c+2c=2a,∴e=ca

答案:D

4.已知椭圆x2a2

A.22 B.3

C.3-1

解析:在Rt△ABF中,|AB|=a2

由|AB|2+|BF|2=|AF|2,得(a2+b2)2+a

将b2=a2-c2代入,得a2-ac-c2=0,即e2+e-1=0,解得e=-1±

因为0e1,所以e=5-

答案:D

5.(多选题)已知曲线C1:x225+y2

A.两条曲线都表示焦点在x轴上的椭圆

B.焦距相等

C.有相同的焦点

D.离心率相等

解析:由题意可知两个方程均表示焦点在x轴上的椭圆,故A正确;曲线C1的焦距为2c=225-9=8,曲线C2的焦距为2c=2(25-k)-(9-k

答案:ABC

6.已知椭圆x24+y2

解析:当0m4时,离心率为4-m2=12,解得m=3;当m4时,离心率为

答案:3或16

7.已知椭圆的对称轴是坐标轴,O为坐标原点,F是一个焦点,A是一个顶点,椭圆的长轴长为6,且cos∠OFA=23,则椭圆的标准方程是

解析:因为椭圆的长轴长是6,cos∠OFA=23

所以|OF|=c,|AF|=a=3,

所以c3=23,所以c=2,b2=3

所以椭圆的方程是x29+

答案:x29+

8.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F1,椭圆C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF1,BF1.若|AB|=10,|AF1|=6,cos

解析:设椭圆的右焦点为F2,坐标原点为O,在△ABF1中,由余弦定理可解得|BF1|=8,所以△ABF1为直角三角形.又斜边AB的中点为O,所以|OF1|=c=5,连接AF2(图略),因为A,B关于原点对称,所以|BF1|=|AF2|=8,所以2a=14,a=7,所以离心率e=57

答案:5

9.(1)求与椭圆x29+

(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求焦点在x轴上的椭圆的标准方程.

解:(1)∵c=9-

∴所求椭圆的焦点为(-5,0),(5,0).

设所求椭圆的方程为x2

∵e=ca=55,c=5,∴a=5,b2=a

∴所求椭圆的方程为x2

(2)∵椭圆的焦点在x轴上,

∴设它的标准方程为x2

∵2c=8,∴c=4,又a=6,∴b2=a2-c2=20.

∴椭圆的方程为x2

10.设椭圆x2a2

解:不妨设A(a,0),点P在第一象限内,由题意知,点P的横坐标是a2

设Pa2,y,由点P在椭圆上,得a22a2+y

因为∠OPA=120°,所以∠POA=30°,故tan∠POA=32

所以e=ca

B组

1.设e是椭圆x24+y

A.(0,3) B.3

C.(0,3)∪163

解析:当k4时,c2=k-4,由条件知14k

当0k4时,c2=4-k,由条件知14

答案:C

2.如图所示,把椭圆x225+y216=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,…,P7七个点,F是椭圆的左焦点,则|P

A.35 B.30 C.25 D.20

解析:设椭圆的右焦点为F(图略),由椭圆的对称性,知|P1F|=|P7F|,|P2F|=|P6F|,|P3F|=|P5F|,故原式=(|P7F|+|P7F|)+(|P6F|+|P6F|)+(|P5F|+|P5F|)+|P4F|=7a=35.

答案:A

3.已知F是椭圆x2a2+y

A.14 B.3

C.12 D.

解析:由于PF⊥x轴,则令x=-c,代入椭圆方程,解得y2=b21-c2

又|PF|=14|AF|,即b

即有4(a2-c2)=a2+ac,(3a-4c)(a+c)=0,

则e=ca

答案:B

4.(多选题)如图所示,某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之

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