人教A版高中数学选择性必修第一册课后习题 第3章 圆锥曲线的方程 3.3.1 抛物线及其标准方程 (2).docVIP

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3.3抛物线

3.3.1抛物线及其标准方程

课后训练巩固提升

A组

1.抛物线x=4y2的准线方程是()

A.y=12

C.x=-116 D.x=

解析:由x=4y2得y2=14x,故准线方程为x=-1

答案:C

2.已知定点F和定直线l,点F不在直线l上,动圆M过点F且与直线l相切,则动圆圆心M的轨迹是()

A.射线 B.直线

C.抛物线 D.椭圆

解析:因为动圆M过点F,且动圆M与直线l相切,所以圆心M到直线l的距离等于圆的半径|MF|,即动点M到定点F的距离等于它到定直线l的距离,且定点F不在定直线l上,所以由抛物线的定义,可知圆心M的轨迹是抛物线.

答案:C

3.若抛物线y2=mx的准线与直线x=1的距离为3,则此抛物线的方程为()

A.y2=-16x B.y2=8x

C.y2=16x或y2=-8x D.y2=-16x或y2=8x

解析:抛物线的准线方程为=8或-16.

故所求抛物线方程为y2=8x或y2=-16x.故选D.

答案:D

4.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为()

A.34 B.1 C.54

解析:如图所示,设E为AB的中点,过A,B,E三点作准线l:x=-14的垂线,垂足分别为C,D,G.根据抛物线的定义,知|AC|+|BD|=|AF|+|BF|=3.根据梯形中位线定理,得线段AB的中点到y轴的距离为12(|AC|+|BD|)-

答案:C

5.设M(x0,y0)为抛物线C:|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是()

A.(0,2) B.[0,2]

C.[2,+∞) D.(2,+∞)

解析:圆心到抛物线准线的距离为p=4,根据已知只要|FM|4即可,根据抛物线的定义,|FM|=y0+2,由y0+24,解得y02,故y0的取值范围是(2,+∞).

答案:D

6.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()

A.2 B.3

C.115 D.

解析:如图所示,动点P到l2:x=-1的距离可转化为|PF|,

由图可知,距离和的最小值即F到直线l1的距离d=|4+6

答案:A

7.一动圆圆心在抛物线x2=4y上,该圆过点(0,1),且与定直线l相切,则直线l的方程为.?

解析:因为动圆过点(0,1),且与定直线l相切,所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l的距离相等.

又因为动圆圆心在抛物线x2=4y上,且(0,1)为抛物线的焦点,所以l为抛物线的准线,所以直线l的方程为y=-1.

答案:y=-1

8.已知抛物线C:4:(x-1)2+(y-2)2=1的圆心,则抛物线C的焦点坐标为,准线方程为.?

解析:圆M的圆心为(1,2),代入4x+ay2=0得a=-1,将抛物线C的方程化为标准方程得y2=4x,故焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1.

答案:(1,0)x=-1

9.一座抛物线形拱桥的示意图,如图所示,当水面在高度l时,拱顶离水面2m,水面宽4m,水位下降1m后,水面宽m.?

解析:设水面与桥的一个交点为A,如图建立平面直角坐标系,则A的坐标为(2,-2).

设抛物线方程为x2=-2py(p0),

则22=-2p×(-2),得p=1,

故抛物线方程为后水面与桥的交点坐标为(x0,-3),

则x02=6,x0=±6,水面宽为2

答案:26

10.已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,点A(3,2).

(1)求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时点P的坐标;

(2)求点P到点B12,2

解:(1)将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=±6.

∵62,∴点A在抛物线内部.

过点P作PQ垂直抛物线的准线l:x=-12

由抛物线的定义,知|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|,

当P,A,Q三点共线时,|PA|+|PQ|的值最小,最小值为72,即|PA|+|PF|的最小值为7

此时点P的纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,

∴点P的坐标为(2,2).

(2)设抛物线上点P到准线l:x=-12

显然点B12

由抛物线的定义,得|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|,

当B,P,F三点共线(P在线段BF上)时取等号.

又|BF|=12

故所求最小值为2.