第03讲 平方差和完全平方公式（知识解读+真题演练+课后巩固)（原卷版）.docxVIP

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第03讲平方差和完全平方公式

1.掌握平方差和完全平方公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；

2.学会运用平方差和完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；

3.能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.

4.能用平方差和完全平方公式的逆运算解决问题

知识点1：平方差公式

平方差公式：

语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.

知识点2：平方差公式的特征

抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：

①位置变化，?x?y???y?x??x2?y2

②符号变化，??x?y???x?y????x?2?y2?x2?y2

③指数变化，?x2?y2??x2?y2??x4?y4

④系数变化，?2a?b??2a?b??4a2?b2

⑤换式变化，?xy??z?m???xy??z?m??

??xy?2??z?m?2

?x2y2??z?m??z?m?

?x2y2??z2?zm?zm?m2?

?x2y2?z2?2zm?m2

⑥增项变化，?x?y?z??x?y?z?

??x?y?2?z2

??x?y??x?y??z2

?x2?xy?xy?y2?z2

?x2?2xy?y2?z2

知识点3：完全平方公式

完全平方公式：

两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍

注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

知识点4：拓展、补充公式

；；

；.

【题型1平方差公式运算】

【典例1】（2023春?渭南期中）计算（3a+2）（3a﹣2）＝．

【变式1-1】（2023春?蕉城区校级月考）若a+b＝1，a﹣b＝2022，则a2﹣b2＝．

【变式1-2】（2023春?双峰县期末）（4a+b）（﹣b+4a）＝．

【变式1-3】（2023春?埇桥区期末）计算：（2x﹣3y）（3y+2x）＝．

【典例2】（2023春?佛冈县期中）19992﹣1998×2002．

【变式2-1】（2023?皇姑区校级开学）简便运算：20222﹣2020×2024．

【变式2-2】（2023春?安乡县期中）计算：20222﹣2021×2023．

【变式2-3】（2023春?渭滨区期末）用整式乘法公式计算：899×901+1．

【题型2平方差公式的逆运算】

【典例3】（2023春?海阳市期末）已知x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，则多项式x﹣2y的值是．

【变式3-1】（2023春?辽阳期末）若m2﹣n2＝6，且m+n＝3，则n﹣m等于．

【变式3-2】（2023春?广饶县期中）已知实数a，b满足a2﹣b2＝40，a﹣b＝4，则a+b的值为．

【变式3-3】（2023春?甘州区校级期末）若m2﹣n2＝6，m+n＝3，则＝．

【题型3平方差公式的几何背景】

【典例4】（2023春?东昌府区校级期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成垄一个矩形．

（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：．

A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2

B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）

C．a2+ab＝a（a+b）

D．a2﹣b2＝（a﹣b）2

（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：

①已知：a+b＝7，a2﹣b2＝28，求a﹣b的值；

②计算：；

【变式4-1】（2023春?高明区月考）乘法公式的探究及应用．

（1）如图1到图2的操作能验证的等式是．（请选择正确的一个）

A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2

B．a2+ab＝a（a+b）

C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab

D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）

（2）当4m2＝12+n2，2m+n＝6时，则2m﹣n＝；

（3）运用你所得到的公式，计算下列各题：

①20232﹣2022×2024；

②2×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1．

【变式4-2】（2023春?清远期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．

（1）根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：（选择正确的一个）

A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2；

B．a2+ab＝a（