人教A版高中数学选择性必修第一册素养单元课后习题 第1章 空间向量与立体几何 1.4.2 第1课时 距离问题.docVIP

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1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题

第1课时距离问题

A级必备知识基础练

1.若O为坐标原点,OA=(1,1,-2),OB=(3,2,8),OC=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为()

A.1652 B.2

C.53 D.53

2.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(1,2,3),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是()

A.2 B.2

C.3 D.32

3.已知直线l过点P(1,3,1),且方向向量为m=(1,0,-1),则点A(1,-1,-1)到直线l的距离为 ()

A.32 B.4

C.25 D.3

4.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2BB1=2,则点C到直线AB1的距离为()

A.155 B.

C.153 D.

5.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E是棱A1B1的中点,P在正方体内部且满足AP=3

A.点A到直线BE的距离是5

B.点A到直线BE的距离是2

C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为3

D.点P到直线AB的距离为25

6.已知平面α内一点P(8,9,5),点Q(1,2,2)在平面α外,若α的一个法向量为n=(4,3,-12),则点Q到平面α的距离为.?

7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AB1C与平面A1C1D间的距离是.?

8.如图所示,四边形ABCD为正方形,ABEF为矩形,且它们所在的平面互相垂直,AB=2BE=4,M为对角线AC上的一个定点,且3AM=MC,则M到直线BF的距离为.?

B级关键能力提升练

9.在空间直角坐标系中,定义:平面α的一般方程为Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B,C不同时为零),点P(x0,y0,z0)到平面α的距离d=|A

A.55 B.

C.2 D.5

10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=1,AA1=2,直线AD与A1C1所成的角为π4,E为棱BB1的中点,则点D1到平面ACE的距离为

11.如图,多面体ABC-A1B1C1是由长方体一分为二得到的,AA1=2,AB=BC=1,∠ABC=90°,点D是棱BB1的中点,则异面直线DA1与B1C1的距离是.?

12.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段A1B1的中点,F为线段AB的中点.

(1)求点B到直线AC1的距离;

(2)求点F到平面AEC1的距离.

13.如图,在四棱锥A-BCDE中,AB=AC=CD=2BE=4,BE∥CD,CD⊥CB,AB⊥AC,O为BC中点,且AO⊥平面BCDE.

(1)求点B到平面ADE的距离.

(2)线段AC上是否存在一点Q,使OQ∥平面ADE?如果不存在,请说明理由;如果存在,求AQAC

参考答案

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题

第1课时距离问题

1.D∵OP=12(OA

∴PC=

∴|PC|=4+1

2.A∵两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(1,2,3),则OA=(1,2,3).

又两平面的一个法向量n=(-1,0,1),

∴两平面间的距离d=|n

3.A由题得,PA=(0,-4,-2),|PA|=25,|PA·m

4.D由题意知,BC=AC=AB=2,BB1=2.

取棱AC的中点O,则BO⊥AC,BO=3.

建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B1(3,0,2),C(0,1,0),所以AB1=(3,1,2),CA=(0,-2,0),所以CA在AB1上的投影的长度为

故选D.

5.BC如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E12,0,1,所以BA=(-1,0,0),BE=-12,0,1.

设∠ABE=θ,则cosθ=BA·

sinθ=1-

故点A到直线BE的距离d1=|BA|sinθ=1×25

由图易证得平面A1BD∥平面B1CD1,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离.

则A1B=(1,0,-1),A1

设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),

则n·A1

所以n=(1,1,1).

所以点D1到平面A1BD的距离d2=|A

即平面A1BD与平面B1CD1间的距离为33

因为AP=34AB+12

又AB=(1,0,0),则|AP·AB||

6.1因为P(8,9,5),Q(1,2,2),所以PQ=(-7,-7,-3).

又α的一个法向量为n=(4,3,-12),所以点Q到平面α的距离为|PQ

7.