吉林省长春市十一中2024届高三第二学期3月第一次测试数学试题.doc

吉林省长春市十一中2023届高三第二学期3月第一次测试数学试题

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知实数满足约束条件，则的最小值是

A． B． C．1 D．4

2．已知集合,则（）

A． B． C． D．

3．若复数满足，则（）

A． B． C． D．

4．已知等差数列的前n项和为，，则

A．3 B．4 C．5 D．6

5．已知函数（）的部分图象如图所示.则（）

A． B．

C． D．

6．已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为()

A． B． C． D．

7．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则,，的大小关系为（）

A． B． C． D．

8．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，且，则（）

A． B． C． D．

9．已知集合，，则等于()

A． B． C． D．

10．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出属于（）

A． B． C． D．

11．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对；再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，那么可以估计的值约为（）

A． B． C． D．

12．若复数满足，则()

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知（为虚数单位），则复数________．

14．已知复数（为虚数单位），则的共轭复数是_____，_____．

15．已知复数（为虚数单位），则的模为____．

16．从2、3、5、7、11、13这六个质数中任取两个数，这两个数的和仍是质数的概率是________（结果用最简分数表示）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数.

（1）解关于的不等式；

（2）若函数的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围

18．（12分）已知椭圆：的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知定点，是否存在过的直线，使与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点？若存在，求出的方程：若不存在，请说明理由.

19．（12分）在平面直角坐标系中，已知向量，，其中.

（1）求的值；

（2）若，且，求的值.

20．（12分）如图中，为的中点，，，.

（1）求边的长；

（2）点在边上，若是的角平分线，求的面积.

21．（12分）某地在每周六的晚上8点到10点半举行灯光展，灯光展涉及到10000盏灯，每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为，并且是否亮灯彼此相互独立.现统计了其中100盏灯在一场灯光展中亮灯的时长（单位：），得到下面的频数表：

亮灯时长/

频数

10

20

40

20

10

以样本中100盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长.

（1）试估计的值；

（2）设表示这10000盏灯在某一时刻亮灯的数目.

①求的数学期望和方差；

②若随机变量满足，则认为.假设当时，灯光展处于最佳灯光亮度.试由此估计，在一场灯光展中，处于最佳灯光亮度的时长（结果保留为整数）.

附：

①某盏灯在某一时刻亮灯的概率等于亮灯时长与灯光展总时长的商；

②若，则，，.

22．（10分）已知函数，.

（1）判断函数在区间上的零点的个数；

（2）记函数在区间上的两个极值点分别为、，求证：.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B

【解析】

作出该不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，

设，则，易知当直线经过点时，z取得最小值，

由，解得，所以，所以，故选B．

2．B

【解析】

计算，再计算交集得到答案

【详解】

,表示偶数，

故.

故选：.

【点睛】

本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.

3．B

【解析】

由题意得,,求解即可.

【详解】

因为,所以.

故选:B.

【点睛】

本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题.

4．C

【解析】

方法一