人教A版高中数学选择性必修第一册课后习题 第1章 空间向量与立体几何 1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题.docVIP

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第2课时用空间向量研究夹角问题

A级必备知识基础练

1.[探究点一]已知点A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为()

A.52266 B.-

C.52222

2.[探究点三]已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD的夹角为()

A.30° B.45°

C.60° D.90°

3.[探究点二]如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()

A.63 B.2

C.55 D.

4.[探究点一][陕西汉中高二统考期末]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为体对角线B1D上一点,且DP=2PB1,则异面直线AD1和CP所成角的余弦值为()

A.0 B.35

C.45 D.

5.[探究点二][北师大版教材习题]已知长方体ABCD-ABCD的一条对角线AC与平面ABBA和平面ADDA所成的角都是π6,则直线AC与平面ABCD所成的角是

6.[探究点二][黑龙江哈尔滨高二校考期末]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,DD1=4,则直线A1B1与平面A1C1D所成的角的正弦值为.?

7.[探究点二][四川成都高二校联考]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=4,AA1=3,B1C交BC1于点E.

(1)证明:直线D1E∥平面A1BD;

(2)求直线AD与平面A1BD所成角的正弦值.

8.[探究点三]如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AD=2BC=2,AB=3,E为CD中点.

(1)求证:CD⊥平面PAE;

(2)若PA=3,求二面角A-PB-E的余弦值.

B级关键能力提升练

9.已知在菱形ABCD中,∠ABC=60°,将△ABC沿AC折起,使得平面BAC⊥平面DAC,则二面角B-CD-A的余弦值为()

A.2 B.12

C.33 D.

10.长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=AD=1,P为线段AD1上的动点,则PB1与平面BCC1B1所成角的余弦值的最小值为()

A.54 B.5

C.114 D.

11.如图,三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,且∠O1OB=60°,∠AOB=90°,OB=OO1=2,OA=3,求异面直线A1B与O1A所成角的余弦值为.?

12.[福建莆田高二校考]在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1B1BA⊥平面ABC,侧面A1B1BA为菱形,∠ABB1=π3,A1B⊥

(1)求证:A1B⊥平面AB1C;

(2)点P在线段A1E上(异于点A1,E),直线AP与平面A1BE所成角为π4,求EP

C级学科素养创新练

13.如图,在正方形ABCD中,EF∥AB,若沿EF将正方形折成一个二面角后,AE∶ED∶AD=1∶1∶2,则直线AF与CE所成角的余弦值为.?

答案：

1.AAB=(2,-2,-1),CD=(-2,-3,-3),而cos??AB,CD??=

故直线AB和CD所成角的余弦值为522

2.B如图所示,建立空间直角坐标系.设PA=AB=1,

则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),

∴AD=(0,1,0).

取PD的中点E,则E0,

∴AE=

易知AD是平面PAB的一个法向量,AE是平面PCD的一个法向量,

所以cosAD,AE=

3.D如图所示,建立空间直角坐标系,

则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,1),C1(0,2,1),

∴BC

连接AC,易证AC⊥平面BB1D1D,

∴平面BB1D1D的一个法向量为a=AC=(-2,2,0).

∴所求角的正弦值为|cosa,BC1|=

4.A以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

令正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,

则A(3,0,0),D1(0,0,3),C(0,3,0),D(0,0,0),B1(3,3,3),

CD=(0,-3,0),DB1=(3,3,3),

CP=CD+

所以cosAD1,

因此异面直线AD1和CP所成角的余弦值为0.

故选A.

5.π4建立如图所示空间直角坐标系,设AD=a,AB=b,AA=c,AC

因为n1=(1,0,0)是平面ABBA的一个法向量,n2=(0,1,0)是平面ADDA的一个法向量,

所以|cosAC,n1|=|cosAC,n2|=sinπ6,所以a

设所