《三角恒等变换的应用》教学设计 (1).docVIP

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《三角恒等变换的应用》教学设计

教学设计

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

练习引入

已知，求.

解：，

.

，，

.

师：分析此题的已知和所求，是由求.

师：我们以前学的一般已知和所求分别是什么？

生：由求，，，即是已知角的三角函数值，求的三角函数值.

师：请大家想一想，这两种题中已知和所求有什么共同点？

生：已知角和所求角之间有二倍关系

师：由这个思路，完成此题学生独立完成解题过程

师：此题能求和吗？

通过具体练习引入，与所学习的题型进行比较，发现其共性，为下一步继续推导公式做好准备工作.

半角的正弦、余弦和正切公式

思考1：你能用表示，，吗？

结论：

；=1\*GB3①

；②

.=3\*GB3③

，

，

，

这3个公式称之为半角公式，其中根号前的正负号，由所在象限确定.

问题：三角变换与代数变换有什么不同？

师：（1）与有什么关系？

（2）怎样运用倍角公式解决？

生：在倍角公式中，以代替，以代替，即得，则；在倍角

公式中，以代替，以代替，即得，则.将上述两个式子左右两边分别相除，得

.

教师给予补充.

师：如果知道的值和角的终边所在的象限.你能表示出吗？

学生思考回答.

师生共同得出半角公式.

引导学生通过对比这两种变换认识到：不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式.这是三角恒等变换的一个重要特点.

培养学生运用已有知识获得新知识的能力和问题探究的能力，同时使学生认识到公式形式的来源.通过讨论，使学生对公式有一个清晰完整的认识，为公式的灵活运用打下基础，逐步培养自学能力.

应用举例1

例1求证：

（1）；

（2）.

证明：

（1）

（2）

.

教师出示例题，并提问：

（1）如何证明等式相等？

（2）式子中的角度有什么关系？

学生思考并给出回答.

教师让学生口述证明思路，并给予点评.

学生黑板板演.

巩固半角公式的应用，提高学生化简计算能力，培养学生的数学运算素养.

积化和差公式

思考2：如果已知，你能求出以及的值吗？

解：由：，

，

得:

；=4\*GB3④

.=5\*GB3⑤

因此

，

.

思考3：类比思考2你能用，表示，吗？

解：由，

，

得：

；=6\*GB3⑥

.=7\*GB3⑦

教师提出思考问题，让学生进行讨论交流，教师进一步

提出问题：

，，，之间有关系？

学生很容易想到两角和与差的余弦公式，由两个公式学生可以找出积与和差的关系.

找出关系后，进一步解决思考2的问题.

对于思考3，教师提出问题，学生进行讨论得出答案.

教师指出积化和差公式④⑤⑥⑦：左边是积的形式，右边是和或差的形式.

通过思考探究培养学生分析问题的能力、合作交流的能力，通过思考、探究环节，由学生得出积化和差公式，能够使学生记忆更深刻，培养学生的数学抽象素养.

应用

举例2

例2求函数的周期与最大值.

解：由积化和差公式可知

，

所以函数的周期为，最大值为.

教师展示例题并提出问题：如何求三角函数的周期？

生：在一个三角函数内，.

师：乘积的函数能否用此公式？

生：不能.

师：如何化简？

生：应用积化和差公式.

通过例题，巩固积化和差公式，并培养学生数学运算素养.

和差化积公式

思考4：（1）你能借助④式求出函数的最大值吗？

（2）令，然后改写积化和差公式.

解：（1），因此可知的最大值为1.

（2）一般地，如果，则，，从而④⑤⑥⑦可分别改写为

，

，

，

这四个公式左边是和或差的形式，右边是积的形式，因此被称为和差化积公式.

教师展示思考4的内容，对学生进行分组，分成四组，一、二组完成（1），三、四组完成（2），学生上台进行展示.

对于一二组完成的情况，教师进行简单点评，对于三、四组完成的内容教师重点讲解，并总结和差化积公式的结构特征.

通过分组完成培养学生的合作与竞争意识通过完成问题，提高学生分析问题的能力、总结问题的能力.

应用举例3

例3求函数的周期与最大值.

解：由和差化积公式可知

.

所以函数的周期为，最大值为.

例4已知，求证：

证明：因为，所以

，因此

.

对于例3，教师可以找学生直接上黑板完成，教师给予点评即可.

对于例4，给出2个小问题帮助学生去理解并完成例4：

①如果，那么与有什么关系？

②正弦的二倍角公式是什么？

学生回答完后，让学生先尝试独立完成例4.

通过例题练习和差化积公式，培养学