人教A版高中数学选择性必修第一册课后习题 第1章 空间向量与立体几何 1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示.docVIP

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1.4空间向量的应用

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系

第1课时空间中点、直线和平面的向量表示

A级必备知识基础练

1.[探究点一][四川郫都月考]设点M(1,1,1),A(2,1,-1),O(0,0,0).若OM=

A.(1,0,-2) B.(3,2,0)

C.(1,0,2) D.(3,-2,0)

2.[探究点二][江西樟树校级期末]若P(1,0,-2),Q(3,1,1)在直线l上,则直线l的一个方向向量为()

A.(1,2,3) B.(1,3,2)

C.(2,1,3) D.(3,2,1)

3.[探究点三][福建泉州期末]已知点A(2,-1,2)在平面α内,n=(3,1,2)是平面α的一个法向量,则下列各点在平面α内的是()

A.(1,-1,1) B.1

C.1,-3

4.[探究点一][北京怀柔期末]若点A(1,2,3),点B(4,-1,0),且AC=2CB,则点C的坐标为()

A.(3,0,1) B.(2,1,2)

C.32,-

5.[探究点三][江苏高邮阶段检测]已知直线l的方向向量为m=(x,-1,2),平面α的法向量为n=(1,2,-4),若直线l与平面α垂直,则实数x的值为()

A.-12

C.12

6.[探究点二][甘肃靖远校级期末]已知点M(-1,-1,-2),N(2,2,1)都在直线l上,直线l的一个方向向量可以为.?

7.[探究点三]若两个向量AB=(1,2,3),AC=(3,2,1),则平面ABC的一个法向量是.

8.[探究点三][广东越秀校级期末]如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M在棱C1C上,且CM=2MC1.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为D1B的一个法向量.

B级关键能力提升练

9.[江苏兴化月考]已知a=(2,0,2),b=(3,0,0)分别是平面α,β的法向量,则平面α,β交线的方向向量可以是()

A.(1,0,0) B.(0,1,0)

C.(0,0,1) D.(1,1,1)

10.[江苏盱眙校级期末]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,则下列向量中,能作为平面AEF的法向量的是()

A.(1,-2,4) B.(-4,1,-2)

C.(2,-2,1) D.(1,2,-2)

11.[福建思明校级期末]已知n=(1,-2,2)是平面α的一个法向量,点A(1,4,2),B(3,k,-2)在平面α内,则k=.?

12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为棱DD1的中点,以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.

(1)求直线AE与B1D1所成角的余弦值;

(2)求平面ABE的法向量,并判断点F(2,4,2)是否在平面ABE内.

C级学科素养创新练

13.[江苏常州月考]已知A(1,2,0),B(0,4,0),C(2,3,3).

(1)求AB与y轴正方向的夹角的余弦值;

(2)已知点P(-3,m,n)在直线AC上,求m+n的值.

答案：

1.B设B(x,y,z),则AB=(x-2,y-1,z+1).

因为OM=

所以(1,1,1)=(x-2,y-1,z+1),即x

解得x=3,

2.C由题意得,直线l的一个方向向量为PQ=(3,1,1)-(1,0,-2)=(2,1,3).故选C.

3.B设P(x,y,z),则AP=(x-2,y+1,z-2).

由题意知,AP⊥n,则n·AP=0,

∴3(x-2)+(y+1)+2(z-2)=0,

化简得3x+y+2z=9.

经验证,当x=1,y=3,z=32

4.A根据题意,设C(x,y,z),

则AC=(x-1,y-2,z-3),CB=(4-x,-1-y,-z).

因为AC=2CB,则x-1=2(

5.A由题意得m=λn,则(x,-1,2)=λ(1,2,-4),即x=λ,

6.(3,3,3)(答案不唯一)根据题意,点M(-1,-1,-2),N(2,2,1)都在直线l上,且MN=(3,3,3),

故直线l的一个方向向量可以为(3,3,3).

7.(1,-2,1)设平面ABC的一个法向量是n=(x,y,z).

因为AB=(1,2,3),AC=(3,2,1),

则n

两式相减得x-z=0,即x=z.

令x=z=1,则y=-2,

所以平面ABC的一个法向量是n=(1,-2,1).

8.解因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,CM=2MC1,所以M(0,3,2),B(3,3,0),D1(0,0,3),

则MB=(3,0,-2),MD

设n=(D1B的法向量,

则n⊥MB,n⊥MD1

取z=3,则BD1的