《二项式定理与二项式系数的性质》教学设计二.docVIP

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《二项式定理与二项式系数的性质》教学设计二

教学设计

一、阅读引导

1.阅读教材,问题导人.

阅读教材第页内容,回答下列问题.

小张在进行投篮练习,共投了10次,只考虑是否投中,那么不难知道,投篮结果可以分成11类:投中0次,投中1次,投中2次…..投中10次.而投中0次只有1(即)种情况,投中1次有种情况,投中2次有种情况…...投中10次有种情况.因此,小张投篮10次,结果共有

种情况.那么上式的结果是多少呢?

提示:.

2.归纳总结,核心必记.

一般地,当是正整数时,有

.

（1）上述公式称为二项式定理.

（2）展开式:等式右边的式子称为的展开式,它共有项,其中是展开式中的第项(通常用表示).

（3）二项式系数:称为第项的二项式系数.

（4）通项公式:称为二项展开式的通项公式.

设计意图:从学生熟悉的实例出发,激发学生的学习兴趣,通过简单的基础知识的罗列,使学生明确本节课的学习内容.

二、知识深化

1.二项式定理.

阅读教材第页内容,完成下列思考.

思考1二项展开式共有多少项?

提示:共有项.

思考2展开式中的的指数幂有什么规律?

提示:字母按降幂排列,次数由递减到0;字母按升幂排列,次数由0递增到.

思考3展开式中的位置能否调换?

提示:能.

2.二项展开式的通项公式.

思考1二项式定理中,项的系数与二项式系数相同吗,为什么?

提示:二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指,它只与和各项的项数有关,而与的值无关;项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与和各项的项数有关,而且也与,的值有关.

思考2二项式与展开式中第项是否相同?

提示:一般不同.展开式中第项为,而展开式中第项为.

3.二项式系数的性质.

思考1推导二项式系数和,用的是哪个二项展开式?

提示:利用的二项展开式推导二项式系数和.

思考2令,得出的是什么结论?

提示:令,得出的是所有项的二项式系数和,即.

思考3令,得出的是什么结论?

提示:令,得出的是二项式系数的符号正负相间的结论,即.

思考4将以上两个式子联立,会得到什么结论?

提示:将两个式子相加减,类似于解方程的过程,可以得到奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等,都等于，

设计意图:通过对问题的思考,使学生加深对二项展开式概念以及通项公式的理解,为下一步通项公式的应用打下基础;通过分析二项式系数和的推导过程,理解赋值法的应用,为后面求解系数和奠定基础.

三、例题剖析

例1写出的展开式.

想一想1展开式有几项?

想一想2如何确定展开式中的每一项?

想一想3每一项的二项式系数与系数分别是什么?

解在二项式定理中令,可得

.

练习:教材第34习题第3题.

归纳总结

二项展开式的结构特点:

（1）项数:共有项.

（2）指数:的指数从逐项递减到0,是降幂排列;的指数从0逐项递增到,是升幂排列,指数和为.

例2（1）求的展开式中含的项.

（2）求的展开式中常数项的值和对应的二项式系数.

想一想1如何求展开式中的指定项?

想一想2如何求展开式中的常数项?

想一想3展开式中的指定项的二项式系数与系数各是什么?

解（1）因为,所以展开式中的第项为.

要使此项含,必须有,从而有,因此含的项为

.

（2）因为,所以展开式中的第项为

.

要得到常数项,必须有,从而有,因此常数项是第4项,且

.

从而可知常数项的值为160,其对应的二项式系数为.

练习:教材第33页习题第2题.

归纳总结

利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型.常见的有求二项展开式中的第项、常数项、含某字母的次方的项等.其通常解法就是根据通项公式确定中的值或取值范围以满足题设的条件.

例3已知的展开式中,所有的二项式系数之和为1024,求展开式中含的项.

想一想1如何根据二项式系数和确定的值?

想一想2如何利用通项公式求展开式中的某一项?

解依题意可知,因此.

从而可知展开式的通项为

.

要使此项含,必须有,从而有,因此含的项为

.

变式思考：

（1）展开式中有没有常数项？如果有,是第几项?

（2）第8项的二项式系数是多少?系数是多少?

（3）二项式系数和还有什么结论成立?

练习:教材第34页习题第4题.

设计意图:通过例题的教学,使学生熟练通项公式的应用.

四、课堂小结

通过本节课的学习,你有什么收获和体会?说出来与大家一起交流.

设计意图:通过学生对本节内容的整理归纳,把知识系统化、结构化,达