《向量数量积的坐标运算》教学设计一 (1).docVIP

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《向量数量积的坐标运算》教学设计一

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

复习引人

回顾：若分别是给定的与x轴、y轴正方向相同的单位向量，则

提出问题：平面两向量数量积的坐标又如何表示呢？

学生回答提出的问题，教师点评.

学生合作探索提出的问题.

引导学生经历由特殊到一般的探究发现过程，温故而知新.

概念形成1

探究1：已知向量，

，能否用的坐标表示数量积呢？

归纳1：存在单位正交基底

,使得，，因此

，

从而.

即：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

探究2：设都是非零向量，

，如何计算a与b的夹角

呢？

归纳2：，.

两向量夹角的坐标表示：

.

探究3：探索发现向量的模的坐标表示公式.

若，如何计算呢？

归纳3：.

探究4：若，，如何计算向量的模，即两点间的距离呢？

归纳4：.

教师巡视辅导学生，解决遇到的困难.

学生展示探究结果，教师给予点评.

教师提出问题，学生独立思考探究后合作交流，并展示探究的结果，教师总结.

引导学生通过自主探究以及合作交流，寻求问题的解决方法，及时归纳总结.

为下面的初步应用埋下伏笔.

引导学生再次经历由特殊到一般的探究发现过程.

应用举例1

例1已知，，求

.

解：由题意可知

，

，

.

又因为

，

所以.

例2已知点，,,求

的余弦值.

解：因为，

，

所以

，

，

，

因此

.

教师出示例1，提问：已知两个向量的坐标，如何求数量积，如何求模，如何求a与b的夹角呢？

学生思考并给予回答.

教师强调：要求a与b的夹角，需先求及，得出后，再结合夹角的范围确定其值.

教师出示例2，提问：知道点的坐标，如何求向量？

学生思考并回答.

教师找学生上黑板演示.

进一步深化对平面向量数量积的坐标表示的认识和理解，初步运用知识解决问题.

概念形成2

探究5：设，，能否用的坐标表示出的充要条件？

归纳5：.

学生独立思考、探究，合作交流教师让学生展示探究的结论，并进行总结.

让学生经历探究的过程，使其掌握用坐标表示两向量垂直的充要条件.

应用举例2

例3已知点，，，求证：.

证明：因为

，

，

所以

，

因此.

例4如图所示，已知点，将向量绕原点O逆时针旋转得到，求点B的坐标.

解：由已知可得

.

又因为，设，则，从而有

解得或又因为由图可知，所以.

例5如图所示，已知正方形ABCD中，P为对角线AC不在端点上的任意一点，，????⊥????，连接.求证：.

证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，正方形的边长为单位长，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，从而，.

由已知，可设，其中则，，因此.

又因为，

所以，因此.

例5说明，建立合适的平面直角坐标系之后，可以方便地借助向量的坐标来解决有关几何问题.

教师出示例3，并提出问题：如何用勾股定理来证明

？用数量积如何证明？

两者谁更简单？

学生思考并给出回答，教师找学生上黑板完成例3，并给予点评.

教师出示例4，提出问题：利用全等能否找出B点的坐标？

教师先找学生上黑板用全等的方法求出B点坐标，然后给予点评.

教师与学生们一起用向量的方法求B点的坐标.

师：解决问题要多角度思考.

教师出示例5，提出问题，图中P点的横坐标与纵坐标有什么关系？

学生思考并回答.

教师找学生上黑板完成证明过程集体订正.

通过例题使学生掌握向量垂直的判定公式的坐标表示，以及向量垂直在平面几何中的应用，提升学生的数学运算、直观想象核心素养.

归纳总结

知识总结：

1.向量的数量积的坐标表示公式.

2.向量模的坐标表示公式.

3.两向量夹角的坐标表示公式.

4.向量垂直的充要条件的坐标表示.

学生回顾反思，教师点评完善.

使学生形成完整的知识体系.

课后作业

1.教材第85页练习A第1~5题.

2.教材第85页练习B第1~5题.

学生独立完成.

巩固新知，提升能力.

板书设计

8.1.3向量数量积的坐标运算

一、复习

二、新课

1.向量的数量积的坐标表示公式

2.两向量夹角的坐标表示公式

3.向量模的坐标表示公式

4.垂直判定

三、例题

例1

例2

例3

例4

例5

四、小结

五、作业

教学研讨

本案例在设计上主要采用探究式学习，学习的过程是以学生为主体，教师只起到一个辅助的作用.在例题的设计上，采用教材上的5个例题，例题较多，所以没有设置类题练习，课下需要多做练习进行巩固.