《向量数量积的坐标运算》教学设计一 (1).docVIP

《向量数量积的坐标运算》教学设计一 (1).doc

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《向量数量积的坐标运算》教学设计一

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

复习引人

回顾:若分别是给定的与x轴、y轴正方向相同的单位向量,则

提出问题:平面两向量数量积的坐标又如何表示呢?

学生回答提出的问题,教师点评.

学生合作探索提出的问题.

引导学生经历由特殊到一般的探究发现过程,温故而知新.

概念形成1

探究1:已知向量,

,能否用的坐标表示数量积呢?

归纳1:存在单位正交基底

,使得,,因此

从而.

即:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

探究2:设都是非零向量,

,如何计算a与b的夹角

呢?

归纳2:,.

两向量夹角的坐标表示:

.

探究3:探索发现向量的模的坐标表示公式.

若,如何计算呢?

归纳3:.

探究4:若,,如何计算向量的模,即两点间的距离呢?

归纳4:.

教师巡视辅导学生,解决遇到的困难.

学生展示探究结果,教师给予点评.

教师提出问题,学生独立思考探究后合作交流,并展示探究的结果,教师总结.

引导学生通过自主探究以及合作交流,寻求问题的解决方法,及时归纳总结.

为下面的初步应用埋下伏笔.

引导学生再次经历由特殊到一般的探究发现过程.

应用举例1

例1已知,,求

.

解:由题意可知

.

又因为

所以.

例2已知点,,,求

的余弦值.

解:因为,

所以

因此

.

教师出示例1,提问:已知两个向量的坐标,如何求数量积,如何求模,如何求a与b的夹角呢?

学生思考并给予回答.

教师强调:要求a与b的夹角,需先求及,得出后,再结合夹角的范围确定其值.

教师出示例2,提问:知道点的坐标,如何求向量?

学生思考并回答.

教师找学生上黑板演示.

进一步深化对平面向量数量积的坐标表示的认识和理解,初步运用知识解决问题.

概念形成2

探究5:设,,能否用的坐标表示出的充要条件?

归纳5:.

学生独立思考、探究,合作交流教师让学生展示探究的结论,并进行总结.

让学生经历探究的过程,使其掌握用坐标表示两向量垂直的充要条件.

应用举例2

例3已知点,,,求证:.

证明:因为

所以

因此.

例4如图所示,已知点,将向量绕原点O逆时针旋转得到,求点B的坐标.

解:由已知可得

.

又因为,设,则,从而有

解得或又因为由图可知,所以.

例5如图所示,已知正方形ABCD中,P为对角线AC不在端点上的任意一点,,????⊥????,连接.求证:.

证明:以A为原点,AB所在直线为x轴,正方形的边长为单位长,建立如图所示的平面直角坐标系,则,,,从而,.

由已知,可设,其中则,,因此.

又因为,

所以,因此.

例5说明,建立合适的平面直角坐标系之后,可以方便地借助向量的坐标来解决有关几何问题.

教师出示例3,并提出问题:如何用勾股定理来证明

?用数量积如何证明?

两者谁更简单?

学生思考并给出回答,教师找学生上黑板完成例3,并给予点评.

教师出示例4,提出问题:利用全等能否找出B点的坐标?

教师先找学生上黑板用全等的方法求出B点坐标,然后给予点评.

教师与学生们一起用向量的方法求B点的坐标.

师:解决问题要多角度思考.

教师出示例5,提出问题,图中P点的横坐标与纵坐标有什么关系?

学生思考并回答.

教师找学生上黑板完成证明过程集体订正.

通过例题使学生掌握向量垂直的判定公式的坐标表示,以及向量垂直在平面几何中的应用,提升学生的数学运算、直观想象核心素养.

归纳总结

知识总结:

1.向量的数量积的坐标表示公式.

2.向量模的坐标表示公式.

3.两向量夹角的坐标表示公式.

4.向量垂直的充要条件的坐标表示.

学生回顾反思,教师点评完善.

使学生形成完整的知识体系.

课后作业

1.教材第85页练习A第1~5题.

2.教材第85页练习B第1~5题.

学生独立完成.

巩固新知,提升能力.

板书设计

8.1.3向量数量积的坐标运算

一、复习

二、新课

1.向量的数量积的坐标表示公式

2.两向量夹角的坐标表示公式

3.向量模的坐标表示公式

4.垂直判定

三、例题

例1

例2

例3

例4

例5

四、小结

五、作业

教学研讨

本案例在设计上主要采用探究式学习,学习的过程是以学生为主体,教师只起到一个辅助的作用.在例题的设计上,采用教材上的5个例题,例题较多,所以没有设置类题练习,课下需要多做练习进行巩固.

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