人教A版高中数学必修第二册课后习题 第6章 平面向量及其应用 6.4.3第1课时 余弦定理.docVIP

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第1课时余弦定理

课后训练巩固提升

一、A组

1.在△ABC中,已知a=23,b=9,C=150°,则c等于()

A.73 B.83 C.39 D.102

解析:由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=12+81-2×23×9×-32

答案:A

2.在△ABC中,a=7,b=43,c=13,则△ABC的最小角为()

A.π3 B.π6

解析:∵abc,

∴C为最小角,由余弦定理的推论,得cosC=a

又C∈(0,π),∴C=π

答案:B

3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2acosB=c,则△ABC的形状一定是()

A.等腰直角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等边三角形

解析:由余弦定理的推论及2acosB=c,得2a·a2+c2

故△ABC为等腰三角形.

答案:C

4.在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于1

A.31010 B.10

解析:如图,过点A作AD⊥BC,垂足为点D,由题意得BD=AD=13BC,故CD=23BC,AB=23

由余弦定理的推论,得cos∠BAC=AB2

答案:C

5.在△ABC中,若a=b=1,c=3,则C=.?

解析:由余弦定理的推论,得cosC=a2+

∵0°C180°,∴C=120°.

答案:120°

6.在△ABC中,A=60°,AC=2,BC=3,则AB等于.?

解析:在△ABC中,A=60°,AC=2,BC=3,设AB=x,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA,化简得x2-2x+1=0,解得x=1,即AB=1.

答案:1

7.在△ABC中,若b=1,c=3,A=π6,则a=,sinB=

解析:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=12+(3)2-2×1×3cosπ

则a=b,得A=B=π6.

答案:11

8.在△ABC中,已知cos2A2=b+c

解:在△ABC中,由已知cos2A2

得1+cosA2=

根据余弦定理的推论,得b

则b2+c2-a2=2b2,即a2+b2=c2.

故△ABC是直角三角形.

9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a-c)2=b2-34

(1)求cosB的值;

(2)若b=13,且a+c=2b,求ac的值.

解:(1)由(a-c)2=b2-34ac,可得a2+c2-b2=5

则a2+

(2)因为b=13,cosB=58,由余弦定理,得b2=13=a2+c2-54ac=(a+c)2-134

所以13=52-134

二、B组

1.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2=ac,且c=2a,则cosB等于()

A.14 B.34

解析:b2=ac,且c=2a,由余弦定理的推论得cosB=a

答案:B

2.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若三边的长为连续的三个正整数,且ABC,3b=20acosA,则b等于()

A.5 B.6 C.7 D.8

解析:由题意可设a=b+1,c=b-1,b∈N*,且b≥2.

∵3b=20acosA,

∴3b=20(b+1)·b

整理得7b2-27b-40=0,解得b=5.

答案:A

3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tanB=3ac,则角B的大小为()

A.π6 B.π3

解析:∵(a2+c2-b2)tanB=3ac,

∴a2+

即cosBtanB=32,sinB=3

∵B∈(0,π),∴B=π3或B=

答案:D

4.在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=3,c=4,则实数a的取值范围是()

A.(1,7) B.(1,5) C.(7,5) D.(3,5)

解析:∵b=3,c=4,且△ABC是锐角三角形,

∴cosA=b2+c

∴7a225,∴7

答案:C

5.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若cosA=12,b+c=2a,则△ABC的形状为

解析:由余弦定理的推论及cosA=12

得b2+c2-a2

∵b+c=2a,∴a=b+c2

∴b2+c2-b+c22=bc,即(b-c)

∴b=c,于是a=b=c.

∴△ABC为等边三角形.

答案:等边三角形

6.在△ABC中,a+b=10,若cosC是方程2x2-3x-2=0的一个根,则△ABC的周长的最小值为.?

解析:∵cosC是方程2x2-3x-2=0的一个根,解方程得x=-12

∴cosC=-12

又0°C180°,∴C=120°.

由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab