2024年高中数学新高二暑期衔接讲义第06讲 空间向量及其运算的坐标表示（七大题型）（教师版）.docxVIP

第06讲空间向量及其运算的坐标表示

【题型归纳目录】

题型一：空间向量的坐标表示

题型二：空间向量的直角坐标运算

题型三：空间向量的共线与共面

题型四：空间向量模长坐标表示

题型五：空间向量平行坐标表示

题型六：空间向量垂直坐标表示

题型七：空间向量夹角坐标表示

【知识点梳理】

知识点一、空间直角坐标系

1、空间直角坐标系

从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面.

2、右手直角坐标系

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.

3、空间点的坐标

空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.

知识点二、空间直角坐标系中点的坐标

1、空间直角坐标系中点的坐标的求法

通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.

特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为.

2、空间直角坐标系中对称点的坐标

在空间直角坐标系中，点，则有

点关于原点的对称点是；

点关于横轴(x轴)的对称点是；

点关于纵轴(y轴)的对称点是；

点关于竖轴(z轴)的对称点是；

点关于坐标平面的对称点是；

点关于坐标平面的对称点是；

点关于坐标平面的对称点是.

知识点三、空间向量的坐标运算

(1)空间两点的距离公式

若，则

①

即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

②，

或.

知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。

(2)空间线段中点坐标

空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为.

(3)向量加减法、数乘的坐标运算

若，则

①;

②;

③;

(4)向量数量积的坐标运算

若，则

即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。

(5)空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式

若，则

(1).

(2).

知识点诠释：

①夹角公式可以根据数量积的定义推出：

，其中的范围是

②.

③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系(相等，互余，互补)。

(6)空间向量平行和垂直的条件

若，则

①

②

规定：与任意空间向量平行或垂直

作用：证明线线平行、线线垂直.

【典例例题】

题型一：空间向量的坐标表示

例1．(2023·高二课时练习)在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是(????)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为.

故选：C.

例2．(2023·北京·高二北京市第一六一中学校考期中)已知平行四边形，且，，，则顶点的坐标为(????)

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设，

则，，

由题意得：，即，解得：，

故顶点的坐标为.

故选：D

例3．(2023·北京房山·高二统考期中)已知，则向量的坐标是(????)

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为，

所以，

故选：B

例4．(2023·全国·高二专题练习)平行六面体中，，则点的坐标为(????)

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，

∵，又，

∴，

解得，即.

故选：B.

例5．(2023·全国·高二专题练习)在空间直角坐标系中，，，则向量(????)

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为，，

所以向量．

故选：B.

例6．(2023·高二课时练习)若?，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是___________.

【答案】

【解析】点?，为线段上一点，且，

所以，

设点的坐标为，则，

则，即，

解得，即；

故答案为：．

例7．(2023·全国·高二专题练习)已知点，，，则点的坐标为______．

【答案】/

【解析】点，，则

设点，则

由，则，即x=0y=12

所以点的坐标为

故答案为：

例8．(2023·高二课时练习)已知点，，若点为线段AB上靠近的三等分点，则点的坐标为___________.

【答案】

【解析】由题设，，而，令，则，

∴，可得，即.

故答案为：

例9．(2023·全国·高二专题练习)如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为____，的坐标为____，的坐标为_______．

【答案】

【解析】如题图示，，

∴，

，

.

故答