2024年高中数学新高二暑期衔接讲义第05讲 空间向量基本定理（四大题型）（教师版）.docxVIP

第05讲空间向量基本定理

【题型归纳目录】

题型一：基底的判断

题型二：基底的运用

题型三：正交分解

题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题

【知识点梳理】

知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解

空间向量基本定理：

如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式.

知识点2：空间向量的正交分解

单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.

正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.

知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题

用已知向量表示某一向量的三个关键点：

(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．

(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立

【典例例题】

题型一：基底的判断

例1．(2023·河南省直辖县级单位·高二统考期末)若、、构成空间的一组基底，则下面也能构成空间的一组基底的是(????)

A．、、 B．、、

C．、、 D．、、

【答案】C

【解析】对于A选项，因为，则、、共面，A不满足条件；

对于B选项，因为，则、、共面，B不满足条件；

对于C选项，假设、、共面，则存在、，

使得，

因为、、构成空间的一组基底，则，该方程组无解，

假设不成立，故、、不共面，

所以，、、可以作为空间向量的一组基底，C满足条件；

对于D选项，因为，则、、共面，D不满足条件.

故选：C.

例2．(2023·高二校考课时练习)已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是(???)

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵，，∴与共面，故A，B错误；

∵，∴与共面，故C错误；

∵是基底，∴不存在使成立，

∴与不共面，故可以与构成空间的一组基底，故D正确.

故选：D.

例3．(2023·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习)为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是(????)

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】C

【解析】对选项A：，向量共面，故不能构成基底，错误；

对选项B：，向量共面，故不能构成基底，错误；

对选项C：假设，即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确；

对选项D：，向量共面，故不能构成基底，错误；

故选：C

例4．(2023·江苏连云港·高二江苏省新海高级中学校考阶段练习)若是空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是(???)

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】对A选项，，故三向量共面，A错误；

对B选项，若共面，则，解得，故三向量共面，B错误，

对C选项，，故三向量共面，C错误，

对D选项，若向量共面，则无解,

故向量不共面，故D正确,

故选：D

例5．(2023·辽宁·高二校联考期末)已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是(????)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，

，

，

所以向量，，均与向量，共面．

故选：C

题型二：基底的运用

例6．(2023·浙江丽水·高二统考期末)在平行六面体中，AC，BD相交于，为的中点，设，，，则(????)

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

??

如图所示，，

故选：C

例7．(2023·江苏盐城·高二盐城中学校考期中)在四面体中，，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，，，则(???)

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以，

??

因为Q是的中点，所以，

因为M为PQ的中点，所以，

故选：A.

例8．(2023·高二课时练习)如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为(????)

????

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以，

所以，即，

又，

所以.

故选：D

??

例9．(2023·高二单元测试)在平行六面体中，设，，，则以为基底表示(????)

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为.

故选：A.

例10．(2023·河南商丘·高二商丘市实验中学校联考期中)如图，在三棱锥中，，，若，，，则(????)

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】如图：

故选：C.

例11．(2023·全国·高二专题练习)如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则(????)

A． B． C．