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甘肃省兰州市城关区第一中学2023届高三年级摸底考试(数学试题)试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.平行四边形中,已知,,点、分别满足,,且,则向量在上的投影为()
A.2 B. C. D.
2.已知,,,则()
A. B.
C. D.
3.已知等差数列的前项和为,若,,则数列的公差为()
A. B. C. D.
4.在四面体中,为正三角形,边长为6,,,,则四面体的体积为()
A. B. C.24 D.
5.我们熟悉的卡通形象“哆啦A梦”的长宽比为.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”,该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台,塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比,第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”,若两展望台间高度差为100米,则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是()
A.400米 B.480米
C.520米 D.600米
6.观察下列各式:,,,,,,,,根据以上规律,则()
A. B. C. D.
7.已知函数与的图象有一个横坐标为的交点,若函数的图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的倍后,得到的函数在有且仅有5个零点,则的取值范围是()
A. B.
C. D.
8.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去三个不同社区进行帮扶活动,每人只能去一个社区,每个社区至少一人.其中甲必须去社区,乙不去社区,则不同的安排方法种数为()
A.8 B.7 C.6 D.5
9.已知抛物线y2=4x的焦点为F,抛物线上任意一点P,且PQ⊥y轴交y轴于点Q,则的最小值为()
A. B. C.l D.1
10.一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果是,则判断框中应填入的条件是()
A. B. C. D.
11.如图所示,矩形的对角线相交于点,为的中点,若,则等于().
A. B. C. D.
12.设等差数列的前项和为,若,则()
A.10 B.9 C.8 D.7
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知数列的前项和为,,且满足,则数列的前10项的和为______.
14.各项均为正数的等比数列中,为其前项和,若,且,则公比的值为_____.
15.已知集合,,则__________.
16.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线(a>0)的一条渐近线方程为,则a=_______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数
(1)若,求证:
(2)若,恒有,求实数的取值范围.
18.(12分)设函数,其中.
(Ⅰ)当为偶函数时,求函数的极值;
(Ⅱ)若函数在区间上有两个零点,求的取值范围.
19.(12分)已知,其中.
(1)当时,设函数,求函数的极值.
(2)若函数在区间上递增,求的取值范围;
(3)证明:.
20.(12分)一种游戏的规则为抛掷一枚硬币,每次正面向上得2分,反面向上得1分.
(1)设抛掷4次的得分为,求变量的分布列和数学期望.
(2)当游戏得分为时,游戏停止,记得分的概率和为.
①求;
②当时,记,证明:数列为常数列,数列为等比数列.
21.(12分)已知数列的前n项和为,且n、、成等差数列,.
(1)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;
(2)若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列,求的值.
22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为.
(1)求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程;
(2)直线l与圆C交于A,B两点,点P(2,1),求|PA|?|PB|的值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.C
【解析】
将用向量和表示,代入可求出,再利用投影公式可得答案.
【详解】
解:
,
得,
则向量在上的投影为.
故选:C.
【点睛】
本题考查向量的几何意义,考查向量的线性运算,将用向量和表示是关键,是基础题.
2.C
【解析】
利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得,即可求得结果.
【详解】
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