2024年高中数学新高二暑期衔接讲义第01讲 平面向量与三角形中的范围与最值问题（五大题型）（学生版）.docxVIP

第01讲平面向量与三角形中的范围与最值问题

【题型归纳目录】

题型一：定义法

题型二：坐标法

题型三：基底法

题型四：几何意义法

题型五：极化恒等式

【知识点梳理】

知识点一．平面向量范围与最值问题常用方法：

1、定义法

第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系

第二步：运用基木不等式求其最值问题

第三步：得出结论

2、坐标法

第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标

第二步：将平面向量的运算坐标化

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解

3、基底法

第一步：利用其底转化向量

第二步：根据向量运算律化简目标

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论

4、几何意义法

第一步：先确定向量所表达的点的轨迹

第二步：根据直线与曲线位置关系列式

第三步：解得结果

知识点二．极化恒等式

1、平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

(1)

(2)

(1)(2)两式相加得：

2、极化恒等式：

上面两式相减，得：————极化恒等式

(1)平行四边形模式：

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．

(2)三角形模式：(M为BD的中点)

A

A

B

C

M

知识点三．在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：

(1)利用基本不等式求范围或最值；

(2)利用三角函数求范围或最值；

(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；

(4)根据三角形解的个数求范围或最值；

(5)利用二次函数求范围或最值．

要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．

【典例例题】

题型一：定义法

例1．(2023·山东临沂·高一校考阶段练习)如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为(????)．

A． B． C．3 D．9

例2．(2023·广西·高一校联考阶段练习)已知点是的边上靠近点的三等分点，点是线段上一点(不包括端点)，若，则的最小值为(????)

A．1 B．2 C．3 D．4

例3．(2023·江苏南京·高一南京市宁海中学校联考期中)已知向量均为单位向量，且，向量满足，则的最大值为(????)

A． B． C． D．

题型二：坐标法

例4．(2023·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考期中)已知，若点M是所在平面内的一点，且，则的最小值为(????)

A． B． C． D．

例5．(2023·山东滨州·高一山东省北镇中学校联考阶段练习)已知梯形，且为平面内一点，则的最小值是(????)

A． B． C． D．2

例6．(2023·广东佛山·高一南海中学校考阶段练习)在中，已知，，，D是的中点，E，F分别是，上的动点，且，则的最小值为(????)

A． B． C． D．

题型三：基底法

例7．(2023·福建三明·高一三明一中校考期中)已知以为圆心的单位圆上有两个定点、及两个动点、，且，则的最大值是(????)

A． B． C． D．

例8．(2023·全国·高一专题练习)已知的外心为，且满足，(其中，则的最大值为(????)

A．2 B． C． D．5

题型四：几何意义法

例9．(2023·广东深圳·高一校考期中)平面四边形是边长为4的菱形，且．点N是DC边上的点，满足．点M是四边形内或边界上的一个动点，则的最大值为(????)

A．13 B．7 C．14 D．

例10．(2023·江苏南京·高一南京市第一中学校考期中)向量，，若与的夹角为，则的最大值为(????)

A．2 B． C．4 D．

例11．(2023·高一课时练习)已知向量，，，满足，记的最大值为，最小值为，则(????)

A． B．2 C． D．1

题型五：极化恒等式

例12．(2023·浙江·高一校联考期中)已知图中正六边形的边长为6，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4，若点P在正六边形的边上运动，为圆O的直径，则的取值范围是(????)

A． B． C． D．

例13．(2023·福建福州·高一福建省福州高级中学校考期中)已知边长为2的正方形ABCD内接于圆O，点P是正方形ABCD四条边上的动点，MN是圆O的一条直径，则的取值范围是(????)

A． B． C． D．

【过关测试】

一、单选题

1．(2023·高一课时练