平面解析几何-高考复习知识点.docx

平面解析几何高考复习学问点

直线的倾斜角、斜率

1、直线的倾斜角：

（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条及轴相交的直线，假如把轴围着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，则就叫做直线的倾斜角。当直线及轴重合或平行时，规定倾斜角为0；

（2）倾斜角的范围。

2、直线的斜率

（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，即＝(≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；

斜率公式：经过两点、的直线的斜率为；

（3）直线的方向向量，直线的方向向量及直线的斜率有何关系？

（4）应用：证明三点共线：。

例题：

例1．已知直线的倾斜角的改变范围为，求该直线斜率的改变范围；思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围

解析：∵，∴．

总结升华：

在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，；当时，；当时，；当不存在时，.反之，亦成立.

类型二：斜率定义

例2．已知△为正三角形，顶点A在x轴上，A在边的右侧，∠的平分线在x轴上，求边及所在直线的斜率.思路点拨：

本题关键点是求出边及所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率.

解析：

如右图，由题意知∠∠30°∴直线的倾斜角为180°-30°=150°，直线的倾斜角为30°，

∴150°=30°=总结升华：

在做题的过程中，要清晰倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小于的角，只有这样才能正确的求出倾斜角.类型三：斜率公式的应用

例3．求经过点，直线的斜率并推断倾斜角为锐角还是钝角．思路点拨：已知两点坐标求斜率，干脆利用斜率公式即可.

解析：且，

经过两点的直线的斜率，即．

即当时，为锐角，当时，为钝角．

例4、过两点，的直线的倾斜角为，求的值．

【答案】

由题意得：直线的斜率，

故由斜率公式，

解得或．经检验不合适，舍去.故．

例5．已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，务实数a的值．思路点拨：假如过点，的斜率相等，则A，B，C三点共线.

解析：∵A、B、C三点在一条直线上，

∴．即

二、直线方程的几种形式

1、点斜式：已知直线过点斜率为，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线。

2、斜截式：已知直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线。

3、两点式：已知直线经过、两点，则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线。

4、截距式：已知直线在轴和轴上的截距为,则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。

5、一般式：任何直线均可写成(不同时为0)的形式。

提示：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距一定值相等直线的斜率为或直线过原点。如过点，且纵横截距的一定值相等的直线共有条（答：3）

注：设直线方程的一些常用技巧：

知直线纵截距，常设其方程为；

知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)；

知直线过点，当斜率存在时，常设其方程为，当斜率不存在时，则其方程为；

及直线平行的直线可表示为；

及直线垂直的直线可表示为.

提示：求直线方程的根本思想和方法是恰中选择方程的形式，利用待定系数法求解。

三、两直线之间的位置关系

1、间隔公式

（1）平面上的两点间的间隔。特殊地，原点O（0，0）及随意一点的P()的间隔

（2）点到直线的间隔；

（3）两平行线间的间隔为。

2、直线及直线的位置关系：

（1）平行（斜率）且（在轴上截距）；

（2）相交；

（3）重合且；

（4）垂直

提示：

（1）、、仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？

（2）在解析几何中，探讨两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；

3、两直线夹角公式

（1）到的角是指直线围着交点按逆时针方向转到和直线重合所转的角，且()；

（2）及的夹角是指不大于直角的角且︱︱()。

提示：解析几何中角的问题常用到角公式或向量学问求解。如已知点M是直线及轴的交点，把直线绕点M逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是（答：）

例题：

例1、两条直线，，求分别满意下列条件的的值．

(1)及相交；(2)及平行；(3)及重合；

(4)及垂直；(