基本不等式的证明（教学课件）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）.pptxVIP

苏教版2019高一数学（必修一）第三章不等式3.2.1基本不等式的证明?

目录/CONTENTS新知探究情景导入学习目标课堂小结分层练习错因分析

学习目标3.通过学习掌握基本不等式及其简单应用，重点发展数学运算、逻辑推理素养.

情景导入把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a.如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同(其他因素不计)，那么a并非物体的实际质量.不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为b.那么如何合理地表示物体的质量呢??

?算术平均数与几何平均数?●两个正数a，b的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系?

新知探究??

?也就是说，两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时，两者相等.

下面证明上述猜想是正确的.证法1对于正数a，b，有??证法2???

证法3对于正数a，b，有?当且仅当a＝b时，等号成立.

(1)公式：①条件：a，b是正数；②结论：____________；③等号成立：当且仅当a＝b时.一、基本不等式?当a，b≥0时，这个不等式仍然成立.?归纳总结?

(3)变形式：?当a＞0，b＞0时，请用基本不等式证明这两个不等式.?这两个不等式通常可以直接使用.

例1设a，b为正数，证明下列不等式成立：??课本例题?

?课本例题例1设a，b为正数，证明下列不等式成立：???

例2??课本例题

1.计算下列两个数的算术平均数与几何平均数(其中p＞0)：(1)2，8；(2)3，12；(3)p，9p；(4)2，2p2.?课本练习(3)p，9p的算术平均数为5p，几何平均数为3p；(4)2，2p2的算术平均数为1＋p2，几何平均数为2p；

2.如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形的直角边长为a，b，根据图示，大正方形的面积与四个小直角三角形的面积之和存在不等关系，用a，b表示这种关系.?

3.证明：????

??

?证明：∵0°＜α＜90°，∴0°＜2α＜180°，∴sin2α∈(0，1]，∴1＋sin2α∈(1，2]，∴(sinα＋cosα)2∈(1，2]，∴1＜(sinα＋cosα)2≤2，∴1＜(sinα＋cosα)2≤2，得证.

易错点1忽略应用基本不等式的前提而致错错因分析

D分层练习-基础

故y有最大值为－4.CA.最大值为0 B.最小值为0C.最大值为－4 D.最小值为－4解析∵x0，

3.已知x0，y0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为() A.16 B.25 C.9 D.36解析因为x0，y0，且x＋y＝8，B当且仅当x＝y＝4时“＝”成立，故(1＋x)(1＋y)的最大值为25.

A解析∵ba0，∴a2＋b22ab，A.rqp B.qpr C.qrp D.r＝qp

BC5.(多选题)下列求最值正确的是()解析A中，没有考虑x0的情况，错误；

即x＝0时，取等号，正确；

二、填空题6.已知x0，y0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为______.解析因为x0，y0，2x＋3y＝6，

①②7.设a，b为非零实数，给出下列不等式：解析由不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；当a＝1，b＝－1时，可知④不正确.

16∵x－1，∴x＋10，

∴原不等式成立.

C11.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们利用该图证明() A.如果ab，bc，那么ac B.如果ab0，那么a2b2 C.对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立 D.如果ab，c0那么acbc解析可将直角三角形的两直角边长取作a，b，斜边为c(c2＝a2＋b2).则外围的正方形的面积为c2，也就是a2＋b2，四个直角三角形所在的阴影面积之和刚好为2ab.对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立.分层练习-巩固

ABC12.(多选题)已知a，b0，则下列不等式中成立的是()

当且仅当a＝b时，等号成立，B成立；当且仅当a＝b时，等号成立，C成立；当且仅当a＝b时，等号成立，D不成立.

解4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤

∵abc，∴a－b0，b－c