第03讲 分式方程（知识解读+真题演练+课后巩固)（解析版）.docxVIP

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第03讲分式方程

1.了解解分式方程的基本思路和解法．

2.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法．

3.体会解分式方程过程中的化归思想．

4.结合利用分式方程解决实际问题的实例，进一步体会方程是刻画实际问题数量关系的一

种重要数学模型。

知识点1：分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫分式方程.

注意：

分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.

分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.

分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.

（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.

知识点2：分式方程的解法

解分式方程的一般步骤：

（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；

（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；

（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.

知识点3：分式方程应用

类型一：工程问题

类型二：行程问题

类型三：销售问题

类型四：方案问题

【题型1分式方程定义】

【典例1】（2023秋?襄都区月考）下列方程中，是分式方程的是（）

A． B．x﹣4y＝7 C．2x＝3（x﹣5） D．

【答案】D

【解答】解：是整式方程，

故A不符合题意；

x﹣4y＝7是整式方程，

故B不符合题意；

2x＝3（x﹣5）是整式方程，

故C不符合题意，

是分式方程，

故D符合题意，

故选：D．

【变式1-1】（2022秋?绥中县期末）下列方程中，是分式方程的是（）

A． B． C．3x＝x﹣5 D．2x﹣y＝1

【答案】B

【解答】解：A．该方程是一元一次方程，不符合题意；

B．该方程是分式方程，符合题意；

C．该方程是一元一次方程，不符合题意；

D．该方程是二元一次方程，不符合题意；

故选：B．

【变式1-2】（2023春?渠县校级期末）下列各式中为分式方程的是（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解答】解：A、不是方程，故本选项错误；

B、方程的分母中含未知数x，所以它是分式方程．故本选项正确；

C、方程分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误；

D、方程的分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误；

故选：B．

【变式1-3】（2023春?苏家屯区期中）在①x2﹣x+，②﹣3＝a+4，③+5x＝6，④＝1中，其中关于x的分式方程的个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解答】解：①x2﹣x+是分式，不是分式方程；

②﹣3＝a+4是关于a的分式方程；

③+5x＝6是一元一次方程；

④＝1是关于x的分式方程，

故关于x的分式方程只有一个．

故选：A

【题型2分式方程的解】

【典例2】（2023?枣庄模拟）若关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是（）

A．a＞﹣1 B．a＜﹣1

C．a＜﹣1且a≠﹣2 D．a＞﹣1且a≠0

【答案】C

【解答】解：解方程＝1，得x＝﹣a﹣1，

∵关于x的方程＝1的解是正数，

∴x＞0，

即﹣a﹣1＞0，

当x﹣1＝0时，x＝1，代入得：a＝﹣2．此为增根，

∴a≠﹣2，

解得：a＜﹣1．

则a的取值范围是：a＜﹣1且a≠﹣2．

故选：C．

【变式2-1】（2023?齐齐哈尔）如果关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是（）

A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0

C．m＞﹣1 D．m＜﹣1且m≠﹣2

【答案】D

【解答】解：将分式方程两边同乘（x+1），去分母可得：2x﹣m＝x+1，

移项，合并同类项得：x＝m+1，

∵原分式方程的解是负数，

∴m+1＜0，且m+1+1≠0，

解得：m＜﹣1且m≠﹣2，

故选：D．

【变式2-2】（2023秋?宁阳县期中）若关于x的方程＝2的解为正数，则m的取值范围是（）

A．m＜6 B．m＞6 C．m＞6且m≠10 D．m＜6且m≠2

【答案】D

【解答】解：关于x的方程＝2的解为：x＝，

∵原方程有可能产生增根2，

∴，

∴m≠2．

∵关于x的方程＝2的解为正数，

∴，

∴m＜6．

综上，m的取值范围是：m＜6且m≠2．

故选：D．

【变式2-3】（2023?黑龙江）已知关于x的分式方程+1＝的解是非负数．则m的取值范围是（）

A．m≤2 B．m≥2C．m≤2且m≠﹣2D．m＜2且m≠﹣2

【答案】C

【解答】解：分式方程去分母得：m+x﹣2＝﹣x，

解得：x＝，

由分式方程的解是非负数，得到≥0，且﹣2≠0，

解得：m≤2且m≠﹣2，

故选：