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第03讲分式方程
1.了解解分式方程的基本思路和解法.
2.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法.
3.体会解分式方程过程中的化归思想.
4.结合利用分式方程解决实际问题的实例,进一步体会方程是刻画实际问题数量关系的一
种重要数学模型。
知识点1:分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
注意:
分式方程的重要特征:①是等式;②方程里含有分母;③分母中含有未知数.
分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数(不是一般的字母系数).
分母中含有未知数的方程是分式方程,分母中不含有未知数的方程是整式方程.
(3)分式方程和整式方程的联系:分式方程可以转化为整式方程.
知识点2:分式方程的解法
解分式方程的一般步骤:
(1)方程两边都乘以最简公分母,去掉分母,化成整式方程(注意:当分母是多项式时,先分解因式,再找出最简公分母);
(2)解这个整式方程,求出整式方程的解;
(3)检验:将求得的解代入最简公分母,若最简公分母不等于0,则这个解是原分式方程的解,若最简公分母等于0,则这个解不是原分式方程的解,原分式方程无解.
知识点3:分式方程应用
类型一:工程问题
类型二:行程问题
类型三:销售问题
类型四:方案问题
【题型1分式方程定义】
【典例1】(2023秋?襄都区月考)下列方程中,是分式方程的是()
A. B.x﹣4y=7 C.2x=3(x﹣5) D.
【答案】D
【解答】解:是整式方程,
故A不符合题意;
x﹣4y=7是整式方程,
故B不符合题意;
2x=3(x﹣5)是整式方程,
故C不符合题意,
是分式方程,
故D符合题意,
故选:D.
【变式1-1】(2022秋?绥中县期末)下列方程中,是分式方程的是()
A. B. C.3x=x﹣5 D.2x﹣y=1
【答案】B
【解答】解:A.该方程是一元一次方程,不符合题意;
B.该方程是分式方程,符合题意;
C.该方程是一元一次方程,不符合题意;
D.该方程是二元一次方程,不符合题意;
故选:B.
【变式1-2】(2023春?渠县校级期末)下列各式中为分式方程的是()
A. B.
C. D.
【答案】B
【解答】解:A、不是方程,故本选项错误;
B、方程的分母中含未知数x,所以它是分式方程.故本选项正确;
C、方程分母中不含未知数,所以它不是分式方程.故本选项错误;
D、方程的分母中不含未知数,所以它不是分式方程.故本选项错误;
故选:B.
【变式1-3】(2023春?苏家屯区期中)在①x2﹣x+,②﹣3=a+4,③+5x=6,④=1中,其中关于x的分式方程的个数为()
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
【解答】解:①x2﹣x+是分式,不是分式方程;
②﹣3=a+4是关于a的分式方程;
③+5x=6是一元一次方程;
④=1是关于x的分式方程,
故关于x的分式方程只有一个.
故选:A
【题型2分式方程的解】
【典例2】(2023?枣庄模拟)若关于x的方程=1的解是正数,则a的取值范围是()
A.a>﹣1 B.a<﹣1
C.a<﹣1且a≠﹣2 D.a>﹣1且a≠0
【答案】C
【解答】解:解方程=1,得x=﹣a﹣1,
∵关于x的方程=1的解是正数,
∴x>0,
即﹣a﹣1>0,
当x﹣1=0时,x=1,代入得:a=﹣2.此为增根,
∴a≠﹣2,
解得:a<﹣1.
则a的取值范围是:a<﹣1且a≠﹣2.
故选:C.
【变式2-1】(2023?齐齐哈尔)如果关于x的分式方程的解是负数,那么实数m的取值范围是()
A.m<﹣1 B.m>﹣1且m≠0
C.m>﹣1 D.m<﹣1且m≠﹣2
【答案】D
【解答】解:将分式方程两边同乘(x+1),去分母可得:2x﹣m=x+1,
移项,合并同类项得:x=m+1,
∵原分式方程的解是负数,
∴m+1<0,且m+1+1≠0,
解得:m<﹣1且m≠﹣2,
故选:D.
【变式2-2】(2023秋?宁阳县期中)若关于x的方程=2的解为正数,则m的取值范围是()
A.m<6 B.m>6 C.m>6且m≠10 D.m<6且m≠2
【答案】D
【解答】解:关于x的方程=2的解为:x=,
∵原方程有可能产生增根2,
∴,
∴m≠2.
∵关于x的方程=2的解为正数,
∴,
∴m<6.
综上,m的取值范围是:m<6且m≠2.
故选:D.
【变式2-3】(2023?黑龙江)已知关于x的分式方程+1=的解是非负数.则m的取值范围是()
A.m≤2 B.m≥2C.m≤2且m≠﹣2D.m<2且m≠﹣2
【答案】C
【解答】解:分式方程去分母得:m+x﹣2=﹣x,
解得:x=,
由分式方程的解是非负数,得到≥0,且﹣2≠0,
解得:m≤2且m≠﹣2,
故选:
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