《椭圆的标准方程》教学设计一.docVIP

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《椭圆的标准方程》教学设计一

教学设计

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

情境引入

认识椭圆

问题1：运动场跑道是不是椭圆形？鸡蛋是不是椭圆形？

问题2：椭圆的定义是什么？

教师：地球的运行轨道是椭圆，探月卫星在飞向月球之前经历了多次椭圆轨道的飞行.百姓家庭之中，茶几的桌面可能是椭圆形的，盘子也可能是椭圆形的.

教师：提出问题1.

学生：思考问题1.

教师：提出问题2.

学生：思考问题2.

教师：历史上，人们最初对椭圆的认识是从圆柱和圆锥开始的.用一个平面斜截一个圆柱或圆锥，所得平面的边缘称为椭圆.从这个认识来看，跑道是椭圆吗？鸡蛋是椭圆吗？

学生：都不是

教师：一个圆柱形茶杯装了一定体积的水，稍微倾斜所得水平面的边缘是椭圆吗？为什么？

学生：是椭圆，可以把水平面看成是平面斜截圆柱所得的截面，则水平面边缘是椭圆.

教师：根据椭圆的这个认识，你能判断地球运行的轨道是椭圆吗？

学生：思考并回答.

教师：人们发现，椭圆不仅存在于圆柱、圆锥面上，更是自然界物体运动的普遍形式，所以可以从运动的角度重新定义椭圆.

创设情境将对椭圆的感性认识上升为理性认识，从直观几何转化为解析几何.

实验探究

定义椭圆

实验探究：取一条定长的细绳，若把细绳两端拉开一段距离，分别固定在画板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？

问题3：结合所画图像，观察椭圆两定点的距离与椭圆的圆扁程度有什么关系？并思考：若把绳子的两端拉直，则所画图像会是什么？

问题4：应该如何完善椭圆的定义？

椭圆的定义：如果是平面内的两个定点，a是一个常数，且，则平面内满足

的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离称为椭圆的焦距.

问题5：如何建立坐标系更好？使得方程更简洁

问题6：圆的方程最简洁的形式是什么？此时圆与坐标系的关系是什么？

问题7：从椭圆的画法中，你能发现椭圆有哪些对称性？

问题8:如何化简以下式子?

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方法一:移项两边平方法.

方法二:直接两边平方法.

问题观察下图,你能找到表示,的线段吗?

教师：给出椭圆定义：平面内与两定点的距离的和等于常数的点的轨迹称为椭圆.下面，我们利用实验探究将椭圆定义具体化.

学生：完成实验探究并展示成果——所画图像为椭圆.

教师：成果分析，提出问题3.

学生：思考问题3并回答，两定点的距离越大，椭圆越扁；把绳子两端拉直，则所画图像是线段.

教师：多媒体动画展示并分析线段上每一点到两端点的距离之和也是定值，提出问题4.

学生：思考问题4并完善定义，常数2a应大于.

教师：强调椭圆定义的关键要素（两定点、距离和、常数2a大于）及介绍椭圆的焦点、焦距.

教师：上一节课，我们学习了求曲线方程的步骤，有哪些呢？

学生：建系、设点、列式、化简、证明，五个步骤.

教师：提出问题5.

学生：思考问题5.

教师：我们可以类比一下圆的方程与坐标系的关系.

教师：提出问题6.

学生：思考并回答问题6，圆心在原点时，圆的方程最简洁，此时圆关于x轴、y轴、原点都对称.

教师：提出问题7.

学生：思考问题7，师生共同进行图像分析并得出结论：椭圆关于两定点所在直线对称，关于线段的垂直平分线对称，且两对称轴交点是椭圆对称中心.

教师:以两对称轴为坐标轴建立坐标系,设点,列式,并提出问题.

学生:尝试化简.

教师:师生共同利用两种方法化简得:.=1\*GB3①

教师:提出问题9.

学生:思考并回答.

教师:令,则=1\*GB3①式可化为:.=2\*GB3②

教师:从上述过程可以看到,椭圆上任一点的坐标都满足方程=2\*GB3②;以方程=2\*GB3②的解为坐标的点到椭圆的两个焦点的距离之和为,即以方程=2\*GB3②的解为坐标的点都在椭圆上,则方程=2\*GB3②为椭圆的方程.

教师:谈对标准”的理解:方程形式最简洁,字母都有几何意义.

教师:的特征有哪些?

学生:思考并回答上述问题.

学生动手，培养学生直观想象和数学抽象核心素养.

让学生通过探究活动，更好地理解椭圆的定义，体会画椭圆的方法及定义中的关键要素.

类比圆的方程最简形式与坐标系的关系，根据椭圆的对称性选择最佳建系方法推导椭圆的方程，进而更好地理解标准方程之“标准”所在.

在推导方程过程中，利用两种常用的方法，引导学生在化简时要注意分析式子的结构特征，选择对应的化简方法，提高运算能力.

类比推理

分类讨论

问题10：如果焦点在y轴上，原点为两焦点的中点，则椭圆的标准方程是什么？

问