《椭圆的标准方程》教学设计一.docVIP

《椭圆的标准方程》教学设计一.doc

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《椭圆的标准方程》教学设计一

教学设计

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

情境引入

认识椭圆

问题1:运动场跑道是不是椭圆形?鸡蛋是不是椭圆形?

问题2:椭圆的定义是什么?

教师:地球的运行轨道是椭圆,探月卫星在飞向月球之前经历了多次椭圆轨道的飞行.百姓家庭之中,茶几的桌面可能是椭圆形的,盘子也可能是椭圆形的.

教师:提出问题1.

学生:思考问题1.

教师:提出问题2.

学生:思考问题2.

教师:历史上,人们最初对椭圆的认识是从圆柱和圆锥开始的.用一个平面斜截一个圆柱或圆锥,所得平面的边缘称为椭圆.从这个认识来看,跑道是椭圆吗?鸡蛋是椭圆吗?

学生:都不是

教师:一个圆柱形茶杯装了一定体积的水,稍微倾斜所得水平面的边缘是椭圆吗?为什么?

学生:是椭圆,可以把水平面看成是平面斜截圆柱所得的截面,则水平面边缘是椭圆.

教师:根据椭圆的这个认识,你能判断地球运行的轨道是椭圆吗?

学生:思考并回答.

教师:人们发现,椭圆不仅存在于圆柱、圆锥面上,更是自然界物体运动的普遍形式,所以可以从运动的角度重新定义椭圆.

创设情境将对椭圆的感性认识上升为理性认识,从直观几何转化为解析几何.

实验探究

定义椭圆

实验探究:取一条定长的细绳,若把细绳两端拉开一段距离,分别固定在画板的两点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?

问题3:结合所画图像,观察椭圆两定点的距离与椭圆的圆扁程度有什么关系?并思考:若把绳子的两端拉直,则所画图像会是什么?

问题4:应该如何完善椭圆的定义?

椭圆的定义:如果是平面内的两个定点,a是一个常数,且,则平面内满足

的动点P的轨迹称为椭圆,其中,两个定点称为椭圆的焦点,两个焦点之间的距离称为椭圆的焦距.

问题5:如何建立坐标系更好?使得方程更简洁

问题6:圆的方程最简洁的形式是什么?此时圆与坐标系的关系是什么?

问题7:从椭圆的画法中,你能发现椭圆有哪些对称性?

问题8:如何化简以下式子?

.

方法一:移项两边平方法.

方法二:直接两边平方法.

问题观察下图,你能找到表示,的线段吗?

教师:给出椭圆定义:平面内与两定点的距离的和等于常数的点的轨迹称为椭圆.下面,我们利用实验探究将椭圆定义具体化.

学生:完成实验探究并展示成果——所画图像为椭圆.

教师:成果分析,提出问题3.

学生:思考问题3并回答,两定点的距离越大,椭圆越扁;把绳子两端拉直,则所画图像是线段.

教师:多媒体动画展示并分析线段上每一点到两端点的距离之和也是定值,提出问题4.

学生:思考问题4并完善定义,常数2a应大于.

教师:强调椭圆定义的关键要素(两定点、距离和、常数2a大于)及介绍椭圆的焦点、焦距.

教师:上一节课,我们学习了求曲线方程的步骤,有哪些呢?

学生:建系、设点、列式、化简、证明,五个步骤.

教师:提出问题5.

学生:思考问题5.

教师:我们可以类比一下圆的方程与坐标系的关系.

教师:提出问题6.

学生:思考并回答问题6,圆心在原点时,圆的方程最简洁,此时圆关于x轴、y轴、原点都对称.

教师:提出问题7.

学生:思考问题7,师生共同进行图像分析并得出结论:椭圆关于两定点所在直线对称,关于线段的垂直平分线对称,且两对称轴交点是椭圆对称中心.

教师:以两对称轴为坐标轴建立坐标系,设点,列式,并提出问题.

学生:尝试化简.

教师:师生共同利用两种方法化简得:.=1\*GB3①

教师:提出问题9.

学生:思考并回答.

教师:令,则=1\*GB3①式可化为:.=2\*GB3②

教师:从上述过程可以看到,椭圆上任一点的坐标都满足方程=2\*GB3②;以方程=2\*GB3②的解为坐标的点到椭圆的两个焦点的距离之和为,即以方程=2\*GB3②的解为坐标的点都在椭圆上,则方程=2\*GB3②为椭圆的方程.

教师:谈对标准”的理解:方程形式最简洁,字母都有几何意义.

教师:的特征有哪些?

学生:思考并回答上述问题.

学生动手,培养学生直观想象和数学抽象核心素养.

让学生通过探究活动,更好地理解椭圆的定义,体会画椭圆的方法及定义中的关键要素.

类比圆的方程最简形式与坐标系的关系,根据椭圆的对称性选择最佳建系方法推导椭圆的方程,进而更好地理解标准方程之“标准”所在.

在推导方程过程中,利用两种常用的方法,引导学生在化简时要注意分析式子的结构特征,选择对应的化简方法,提高运算能力.

类比推理

分类讨论

问题10:如果焦点在y轴上,原点为两焦点的中点,则椭圆的标准方程是什么?

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