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基于导学案建设的三角形“四心”问题

宋伟

（河北省唐山市第二十三中学）

摘要：三角形的外心、内心、重心、垂心以及三角形的外心与几何图形的有机结合，可拓宽应用范围，使很多几何问题得以解决，

向量法解决“四心”问题可以简化计算.要注重概念的内含与外延.

关键词：外心；内心；垂心；重心

在高中数学的学习过程中，“四心”问题经常出现在立体几何向，向量可以用有向线段来表示，其运算都具有明确的几何意义；

与向量问题中.三角形的“四心”问题是学生在学习过程中比较棘二是代数形式——内任意向量都可以用有序数对来表示，这

—平面

手的问题.如果我们对这一问题进行专项训练和研究会收到良好就使得向量成为了沟通代数与几何的有力工具.

的效果.我们应该对“四心”的概念及性质做到心中有数，三角形1.三角形重心的（中线交点）性质

“四心”即外心、内心、重心、垂心.∠∠∠∠∠∠∠

命题1点O是△ABC的重心的充要条件是OA+OB+OC=0

一、在立体几何中，经常涉及三角形的“四心”问题1

命题2若点O是△ABC的重心，则S△AOB=S△BOC=S△AOC=S△ABC

1.常见题型3

过△ABC所在平面外一点P，作PO⊥a，垂足为O，连接PA，2.三角形内心的（内角平分线交点）性质

命题3已知I为△ABC所在平面上的一点，且AB=c，AC=

PB，PC

∠∠∠∠∠∠

b，BC=a．若aIA+bIBIC则I为△ABC的内心．

（1）若PA=PB=PC，△ABC是直角三角形，则点O是AB边的+c=0，

中点.3.三角形垂心的（高线的交点）性质

（2）若PA=PB=PC，则点O是△ABC的外心.∠∠∠∠∠∠∠∠

命题4P是△ABC所在平面上一点，若PAPBPBPC

·=·=

（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA则点O是△ABC的垂心.∠∠∠∠

PCPA则P是△ABC的垂心．

·，

2.三角形的外心在立体几何中有广泛的应用4.三角形外心的（中垂线的交点）性质

在高考中，有时会涉及空间几何体的内切及外接球问题，事实命题5O是△A