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吉林省长春市九台区四中2023年高三5月阶段检测试题数学试题试卷
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若数列满足且,则使的的值为()
A. B. C. D.
2.已知曲线且过定点,若且,则的最小值为().
A. B.9 C.5 D.
3.如图所示,网络纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四棱锥的三视图,则该几何体的体积为()
A.2 B. C.6 D.8
4.已知正方体的体积为,点,分别在棱,上,满足最小,则四面体的体积为
A. B. C. D.
5.函数的部分图象如图所示,则()
A.6 B.5 C.4 D.3
6.已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线C的方程不可能为()
A. B. C. D.
7.设,满足约束条件,则的最大值是()
A. B. C. D.
8.已知点为双曲线的右焦点,直线与双曲线交于A,B两点,若,则的面积为()
A. B. C. D.
9.已知集合,,则()
A. B. C. D.
10.已知函数与的图象有一个横坐标为的交点,若函数的图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的倍后,得到的函数在有且仅有5个零点,则的取值范围是()
A. B.
C. D.
11.已知是虚数单位,若,则()
A. B.2 C. D.10
12.设双曲线的右顶点为,右焦点为,过点作平行的一条渐近线的直线与交于点,则的面积为()
A. B. C.5 D.6
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知椭圆的左、右焦点分别为、,过椭圆的右焦点作一条直线交椭圆于点、.则内切圆面积的最大值是_________.
14.设,则除以的余数是______.
15.函数的定义域为______.
16.如图,在矩形中,,是的中点,将,分别沿折起,使得平面平面,平面平面,则所得几何体的外接球的体积为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知椭圆的焦点在轴上,且顺次连接四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形.
(1)求椭圆的方程;
(2)设,过椭圆右焦点的直线交于、两点,若对满足条件的任意直线,不等式恒成立,求的最小值.
18.(12分)在中,角的对边分别为,若.
(1)求角的大小;
(2)若,为外一点,,求四边形面积的最大值.
19.(12分)已知圆O经过椭圆C:的两个焦点以及两个顶点,且点在椭圆C上.
求椭圆C的方程;
若直线l与圆O相切,与椭圆C交于M、N两点,且,求直线l的倾斜角.
20.(12分)设函数()的最小值为.
(1)求的值;
(2)若,,为正实数,且,证明:.
21.(12分)如图,四棱锥中,平面,,,.
(I)证明:;
(Ⅱ)若是中点,与平面所成的角的正弦值为,求的长.
22.(10分)设,函数,其中为自然对数的底数.
(1)设函数.
①若,试判断函数与的图像在区间上是否有交点;
②求证:对任意的,直线都不是的切线;
(2)设函数,试判断函数是否存在极小值,若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.C
【解析】
因为,所以是等差数列,且公差,则,所以由题设可得,则,应选答案C.
2.A
【解析】
根据指数型函数所过的定点,确定,再根据条件,利用基本不等式求的最小值.
【详解】
定点为,
,
当且仅当时等号成立,
即时取得最小值.
故选:A
【点睛】
本题考查指数型函数的性质,以及基本不等式求最值,意在考查转化与变形,基本计算能力,属于基础题型.
3.A
【解析】
先由三视图确定该四棱锥的底面形状,以及四棱锥的高,再由体积公式即可求出结果.
【详解】
由三视图可知,该四棱锥为斜着放置的四棱锥,四棱锥的底面为直角梯形,上底为1,下底为2,高为2,四棱锥的高为2,
所以该四棱锥的体积为.
故选A
【点睛】
本题主要考查几何的三视图,由几何体的三视图先还原几何体,再由体积公式即可求解,属于常考题型.
4.D
【解析】
由题意画出图形,将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面,可得当时最
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