人教A版高中数学选择性必修第一册课后习题 第1章 空间向量与立体几何 1.4.2 第1课时 距离问题.docVIP

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第一章1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题

第1课时距离问题

A级必备知识基础练

1.[探究点一][江苏徐州期末]已知直线l过点A(1,-1,-1),且方向向量为m=(1,0,-1),则点P(1,1,1)到l的距离为()

A.22 B.6

C.3 D.2

2.[探究点一]在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,则点C1到直线CE的距离为()

A.13 B.3

C.53 D.

3.[探究点二]在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是()

A.6a6 B.

C.3a4

4.[探究点二]如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=3,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,则点B1到平面A1BC的距离为.?

5.[探究点二、三]已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.

(1)求点D到平面PEF的距离;

(2)求直线AC到平面PEF的距离.

B级关键能力提升练

6.在空间直角坐标系中,定义:平面α的一般方程为Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B,C不同时为零),点P(x0,y0,z0)到平面α的距离d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+

A.55 B.2

C.2 D.5

7.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上两个动点,且EF的长为定值,则点Q到平面PEF的距离()

A.等于55

B.和EF的长度有关

C.等于23

D.和点Q的位置有关

8.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E是A1B1的中点,P在正方体内部且满足AP=34AB+

A.点A到直线BE的距离是5

B.点A到直线BE的距离是2

C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为3

D.点P到直线AB的距离为25

9.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,C1C的中点,G为线段DD1上的点,且DG=13DD1,过E,F,G的平面交AA1于点H,则A1D1到平面EFGH的距离为

10.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,则平面AMN与平面EFBD的距离为.?

11.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=π2,AB=BC=13AD=a,PA⊥平面ABCD,且PA=a,点F在AD上,且CF

(1)求点A到平面PCF的距离;

(2)求AD到平面PBC的距离.

C级学科素养创新练

12.[北师大版教材例题]已知向量OX=(1,0,0),OI=(0,2,0),OY=(4,3,3),对任意的实数a,b,当向量n=OY-(aOX+bOI)的长度最小时,求a,b的值.

答案：

1.B∵点A(1,-1,-1),点P(1,1,1),∴AP=(0,2,2),

∴|AP|=02+2

又直线l的方向向量为m=(1,0,-1),

∴点P(1,1,1)到l的距离d=|AP

2.C建立空间直角坐标系,如图,

则C(1,1,0),C1(1,1,1),E0,12,1,所以EC=1,

所以点C1到直线EC的距离d=|C

3.A建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),

Ma,0,

∴DM=a,

设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),

则n

令x=1,则y=-1,z=-2,可得n=(1,-1,-2).

∴点A1到平面MBD的距离d=|D

4.32

则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A1(1,0,3),B1(0,1,3),C1(0,0,3),

∴A1B=(-1,1,-3),A1C=(-1,0,-

设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),

则n

令z=1得x=-3,y=0,

∴n=(-3,0,1).

∴点B1到平面A1BC的距离d=|n

5.解(1)建立以D为坐标原点,DA,

则P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E1,12

所以EF=

设平面PEF的法向量n=(x,y,z),

则n

令x=2,则y=2,z=3,所以n=(2,2,3),

所以点D到平面PEF的距离d=|DE

因此点D到平面PEF的距离为317

(2)因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.

又因为AC?平面PEF,EF?平面PEF,

所以AC∥平面PEF.

因为AE=

所以点A到平面PEF的距离d=|AE

所以直线AC到平面PEF的距离为1717

6.B以底面中心O为坐标原点,建立空间直角坐标系Oxy