2024年高考数学一轮复习练习题含答案解析 第6节 双曲线.docVIP

2024年高考数学一轮复习练习题含答案解析

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第6节双曲线

考试要求1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.

1.双曲线的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0.

(1)若ac，则集合P为双曲线；

(2)若a＝c，则集合P为两条射线；

(3)若ac，则集合P为空集.

2.双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)

eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a0，b0)

图形

性质

范围

x≥a或x≤－a，y∈R

x∈R，y≤－a或y≥a

对称性

对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点

A1(－a，0)，A2(a，0)

A1(0，－a)，A2(0，a)

渐近线

y＝±eq\f(b,a)x

y＝±eq\f(a,b)x

离心率

e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)

实虚轴

线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长

a，b，c的关系

c2＝a2＋b2

1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq\f(2b2,a).

2.离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2)).

3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq\r(2).

4.若渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，则双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0).

5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.

6.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.

7.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为eq\f(b2,tan\f(θ,2)).

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()

(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.()

(3)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()

(4)双曲线eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(m0，n0，λ≠0)的渐近线方程是eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.()

(5)若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)与eq\f(x2,b2)－eq\f(y2,a2)＝1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则eq\f(1,eeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,eeq\o\al(2,2))＝1.()

答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√

解析(1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.

(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.

(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.

2.(易错题)若方程eq\f(x2,3－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是()

A.若C为椭圆，则1＜t＜3

B.若C为双曲线，则t＞3或t＜1

C.曲线C可能是圆

D.若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1＜t＜2

答案AD

解析若t＞3，则方程可变形为eq\f(y2,t－1)－eq\f(x2,t－3)＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线；

若t＜1，则方程可变形为eq\f(x2,3－t)－eq\f(y2,1－t)＝1，它表示焦点在x轴上的双曲线；

若2＜t＜3，则0＜3－t＜t－1，故方程eq\f(x2,3－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1表示焦点在y轴上的椭圆；

若1＜t＜2，则0＜t－1＜3－t，故方程eq\f(x2,3－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1表示焦点在x轴上的椭圆；

若t＝2，则方程eq\f(x2,3－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1，即为x2＋y2＝1，它表示圆，综上，选AD.

3.(20