高中数学同步课堂精讲与练习-两角和与差的三角函数（苏教版必修第二册）（原卷版）.docxVIP

10.1两角和与差的三角函数

知识点一、两角差的余弦公式

1． 两角差的余弦公式的推导：如图,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角,它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B,则.

由向量数量积的概念,有,

结合向量数量积的坐标表示,有,

所以；

（2）由以上的推导过程可知,是任意角,则也应为任意角,但由两个向量数量积的意义,（*）中的。为此,我们讨论如下：

由于是任意角,由诱导公式,总可以找到一个角,使得,

①若,则,

②若,则,且.

综上,对于任意的,都有

2． 公式的记忆

右端为的同名三角函数积,连接符号与左边角的连接符号相反.

3. 两角和的余弦公式

在公式中,用替换公式中的,则

4. 公式使用时不仅要会正用,还要能够逆用、变形应用：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

知识点二、两角和与差的正弦公式

1. 两角和的正弦公式

2. 两角差的正弦公式

知识点三、两角和与差的正切公式

1. 两角和的正切公式

2. 用替换公式中的,可得两角差的正切公式：.

3. 公式的变形

（1）；

（2）.

巩固练习

一．选择题（共8小题）

1．已知sin（α+2021π2）=-45,α∈（0,π）则tan（α

A．-34 B．74 C．1

2．已知α∈（0,π2）,β∈（﹣π,-π2）,sinα=7210,cosβ=-

A．34π B．-34π

3．已知tan(α-π6)=2,tan（α+β）＝﹣3

A．1 B．2 C．3 D．4

4．化简cos16°cos44°﹣cos74°sin44°的值为（）

A．32 B．-32 C．1

5．若tan（α+π3）=-32

A．33 B．﹣33 C．-5312

6．已知3cos2α﹣4sin2β＝1,3sin2α﹣2sin2β＝0,且α、β都是锐角,则α+2β＝（）

A．π2 B．π C．π6

7．若,,且tanα,tanβ是方程x2+43x+5=0的两个根,则

A．π3或4π3 B．π3或-2π3

8．已知α∈（π2,π）,sinα+cosα=-15,那么tan（

A．-17 B．17

二．多选题（共4小题）

9．给出下列四个关系式,其中不正确的是（）

A．sinαsinβ=12[cos（α+β）﹣cos（α﹣β

B．sinαsinβ=12[sin（α+β）+sin（α﹣β

C．cosαcosβ=-12[cos（α+β）﹣cos（α﹣β

D．cosαcosβ=12[sin（α+β）﹣sin（α﹣

10．在△ABC中,C＝120°,tanA+tanB=23

A．A+B＝2C B．tan（A+B）=-3

C．tanA＝tanB D．cosB=3sinA

11．已知α,β都是锐角,且sin2αcos2β+

A．π4 B．π2 C．3π4

12．已知θ∈（0,π）,sinθ+cosθ=15

A．, B．cosθ=-3

C．tanθ=-34

三．填空题（共4小题）

13．若tan（α+π4）＝﹣3,则tanα＝

14．已知tan(π4-α)=-13,则sinα

15．已知sin（α+π4）=66,α∈（0,π）,则cos（2α

16．已知tan（α+β）＝1,tan（α﹣β）＝2,则sin2αcos2β的值为

四．解答题（共12小题）

17．已知tanα,tanβ为方程式x2+6x+2＝0的两根,求下列各式之值：

（1）1co

（2）sin2（α+β）+4sin（α+β）cos（α+β）+2cos2（α+β）．

18．在△ABC中,cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C)=-35,其中角A,B,C的对边分别为a,b,

（1）求sinA的值；

（2）若a=42,b＝5,求向量BA→在

19．（1）已知角α的终边上有一点P（3,4）,求sin(π-α)-sin(3π

（2）已知α+β=π6,tanα+tanβ＝2,求cos（α﹣

20．已知α,β为锐角,cosβ=55,cos（α+β）

（1）求cos2α的值；

（2）求tan（α﹣β）的值．

21．已知cos（α+π3）=3314,

（1）求cosα的值；

（2）若tan（α+β）=5311,β∈（0,π2）

22．已知α为锐角,且cosα=1

（1）求sinα,tanα；

（2）求sin（α-π

23．已知α,β为锐角,tanα=34,cos（α+β）

（Ⅰ）求cos2α的值；

（Ⅱ）求tanβ的值．

24．已知sin(3π+θ)=13,

25．已知△ABC中,角A、B、C的对边为a,b,c,向量,,,,且m→

（1）求角C；

（2）若a2=b2+1

26．若0＜α＜π2,0＜β＜π2,sin（π3-α）=

（Ⅰ）求sinα的值；

（Ⅱ）求cos（β2

27．已知α,β都是锐角,sin