《函数和、差、积、商的求导法则》教学设计 (1).docVIP

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《函数和、差、积、商的求导法则》教学设计

教学设计

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

问题探究1

1.函数利与差的求守法则

探究1已知函数,且,猜测与的关系,并尝试给出证明.

探究2已知,令,那么与的关系又是怎样的?

探究3如何证明?

证明:令,则

.

所以

所以.

同理可得.

探究4那么与是否相等?还能继续推广吗?

让学生大胆猜想出函数和的求导法则,教师慢慢引导学生利用导数的定义进行证明.

，

所以

，

即

.所以

，

即.

学生分分小组交流讨论.

小组派代表展示证明过程.

类比函数和的求导法则，学生自己证明函数差的求导法则.

学生回答，教师给予点评.

通过特殊的实例发现函数和与差的求导法则，再对其进行证明.体现了对公式法则发现认知的一般规律.

函数和与

差求导法

则的形成

一般地,如果都可导,

（1）函数和的求导法则

.

即两个函数之和的导数,等于这两个函数的导数之和.

（2）函数差的求导法则

.

即两个函数之差的导数,等于这两个函数的导数之差.

（3）函数和与差的求导法则可推广到任意有限个可导函数的和(或差).即

.

教师引导学生理解函数和与差的求导法则的形式.

通过师生互动，培养学生的数学抽象核心素养同时体会从特殊到一般的数学思想.

问题探究2

2.函数积的求导法则

探究5如果都可导,你认为的导数与有什么关系?用实例验证你的猜想.

探究6当为常数函数,即时,的结果又是什么?

让学生举出具体的实例，通过实例猜想结论，然后教师引导学生论证其猜想.

学生回答，教师给予点评.

通过特殊的实例发现函数积的求导法则，体现了从特殊到一般的认知规律.

让学生养成运用法则的意识.

形成函数

积的求导

法则

函数积的求导法则

（1）当都可导时,

.

即两个函数之积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数.

特别提醒:.

（2）.即常数与函数之积的导数,等于常数乘以函数的导数.

学生通过自己推导观察和总结，得到两个公式.

通过观察和讨论函数之积的求导法则，体会认知事物从特殊到一般的规律.

问题探究3

3.函数商的求导法则

探究7如果都可导,且,你认为的导数与,有什么关系?用实例验证你的猜想.

探究8当时,则的导数是怎样的?

学生自主思考，分组举例交流讨论，通过实例猜想结论并证明教师巡视，收集信息及时评价.

学生写出结果，教师点评.

观察猜想函数商的求导法则，利用特殊的函数验证，有利于对求导法则的记忆和应用.

形成函数

商的求导

法则

函数商的求导法则

（1）当都可导,且时,有

特别提醒:.

（2）.

教师引导学生掌握函数商的求导法则的形式和特点.

教师指出:表示的是.

强化函数商的求导法则

的记忆和

应用.

应用举例

例1求下列函数的导数.

（1）;

（2）.

解（1）

.

（2）

.

练习:教材第85页练习第题.

例2求曲线在处的切线方程.

解因为

所以所求切线的斜率为,

又因为,

所以切点为,

从而可知所求切线方程为

，

即.

练习:教材第86页练习B第4题.

引导学生自己解决问题，让学生板演.

对于函数求导时，引导学生紧扣函数和、差与积的求导法则，联系基本初等函数的导数公式进行.

学生自主完成练习，集体订正答案.

学生回顾导数的几何意义，教师提醒学生当不易直接运用导数公式时，应先对函数进行化简（恒等变形）.

指名学生板演，师生共同订正答案.

熟悉巩固函数和、差、积的求导法则.

掌握函数商的求导法则，并进一步熟悉切线方程的求解方法.

课堂小结

1.知识

（1）函数和与差的求导法则；

（2）函数积的求导法则；

（3）函数商的求导法则.

2.思想方法

从特殊到一般的思想.

学生总结所学内容，教师给予点评.

培养学生概括总结的能力.

布置作业

1.教材第86页练习B第1题的（1）（2）（4）（5）.

2.教材第86页练习B第3，6题.

学生独立完成，教师批阅.

通过练习巩固本节重点

知识.

板书设计

第1课时函数和、差、积、商的求导法则

1.一般地,如果都可导,

（1）函数和的求导法则

即两个函数之和的导数,等于这两个函数的导数之和

（2）函数差的求导法则.

即两个函数之差的导数,等于这两个函数的导数之差

（3）函数和与差的求导法则可推广到任意有限个可导函数的和(或差).即

2.（1）当都可导时,.

即两个函数之积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数

特别提醒:

（2）.即常数与函数之积的导数,等于常数乘以