2024年高中数学新高二暑期衔接讲义第13讲 椭圆（十大题型）（教师版）.docxVIP

第13讲椭圆

【题型归纳目录】

题型一：椭圆的定义

题型二：求椭圆的标准方程

题型三：椭圆的综合问题

题型四：轨迹方程

题型五：椭圆的简单几何性质

题型六：求椭圆的离心率

题型七：求椭圆离心率的取值范围

题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围

题型九：椭圆中的范围与最值问题

题型十：焦点三角形

【知识点梳理】

知识点一：椭圆的定义

平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

知识点诠释：

若，则动点的轨迹为线段；

若，则动点的轨迹无图形.

知识点二：椭圆的标准方程

1、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；

2、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；

知识点诠释：

(1)这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；

(2)在椭圆的两种标准方程中，都有和；

(3)椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；

(4)在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.

知识点三：求椭圆的标准方程

求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：

(1)待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：.

(2)定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.

知识点四：椭圆的简单几何性质

我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质

椭圆的范围

椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b.

椭圆的对称性

对于椭圆标准方程，把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

椭圆的顶点

①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆(a＞b＞0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1(-a，0)，A2(a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)。

③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

椭圆的离心率

①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作.

②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。

知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义

椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。

可借助下图帮助记忆：

a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。

和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系.

知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较

标准方程

图形

性质

焦点

，

，

焦距

范围

，

，

对称性

关于x轴、y轴和原点对称

顶点

，

，

轴

长轴长=，短轴长=

离心率

知识点诠释：椭圆，(a＞b＞0)的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；

椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。

【典例例题】

题型一：椭圆的定义

例1．(2023·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末)设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是(????)

A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段

【答案】A

【解析】因为，，所以，

所以，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆.

故选：A.

例2．(2023·高二课时练习)设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为(????)

A．12 B．24 C． D．

【答案】D

【解析】由题意可得，对于椭圆有长半轴长，

又