人教A版高中同步训练数学必修第二册课后习题 第7章 复数 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 (2).docVIP

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7.1.1数系的扩充和复数的概念

课后·训练提升

基础巩固

1.下列说法:

①若a+bi=0,则a=b=0;

②x+yi=2+2i?x=y=2;

③若y∈R,且(y2-1)-(y-1)i=0,则y=1.

其中正确的个数为()

A.0 B.1 C.2 D.3

答案：B

解析：①,②错误,即a,x不一定是复数的实部,b,y不一定是复数的虚部;③正确,因为y∈R,所以y2-1,-(y-1)是实数,所以由复数相等的条件得y2

2.若复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实数,则实数m的值为()

A.-2 B.3 C.-3 D.±3

答案：B

解析：由题意,得m2

3.“a=-2”是“复数z=(a2-4)+(a+1)i(a,b∈R)为纯虚数”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案：A

解析：a=-2时,z=(22-4)+(-2+1)i=-i,是纯虚数;z为纯虚数时,a2-4=0,且a+1≠0,即a=±2.

所以由“a=2”可以推出“z为纯虚数”,反之不成立.

故选A.

4.复数z=a2-b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为实数的充要条件是()

A.|a|=|b|

B.a0,且a=-b

C.a0,且a≠b

D.a≤0

答案：D

解析：复数z为实数的充要条件是a+|a|=0,即a≤0.

5.若复数z=a2-3+2ai的实部与虚部互为相反数,则实数a的值为.?

答案：1或-3

解析：由题意,可知a2-3+2a=0,解得a=1或a=-3.

6.若(m2-1)+(m2-2m)i1,则实数m的值为.?

答案：2

解析：由题意,得m2

7.已知z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i(m,n∈R),且z1=z2,则m=,n=.?

答案：2±2

解析：由题意,得n2-

8.在下列说法中,正确的个数为.?

①若x是实数,则x可能不是复数;

②若z是虚数,则z不是实数;

③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零;

④若a,b∈R,且ab,则a+ib+i.

答案：1

解析：实数是复数,故①错误;②正确;复数为纯虚数的充要条件是实部为零,且虚部不为零,故③错误;两个虚数不能比较大小,故④错误.

9.(1)已知2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i,求实数x,y的值;

(2)已知x2-x

解：(1)∵x,y∈R,

∴由复数相等,可得2x-1=x

(2)∵x∈R,

∴由题意可得x2-x-6

(1)z是实数?

(2)z是虚数?

(3)z是纯虚数?

解：(1)由m2

故当m=2时,z是实数.

(2)由m2

故当m≠2,且m≠-3时,z是虚数.

(3)由m2

故当m=3或m=4时,z是纯虚数.

能力提升

1.(多选题)下列说法正确的是()

A.1+i2=0

B.若a,b,c∈R,且ab,则c+aic+bi

C.若x,y∈C,且x2+y2=0,则x=y=0

D.两个虚数不能比较大小

答案：AD

解析：对于A,因为i2=-1,所以1+i2=0,故A正确.对于B,两个虚数不能比较大小,故B错.对于C,当x=1,y=i时,x2+y2=0也成立,故C错.D正确.

2.已知复数z1=a+2i,z2=3+(a2-7)i,a∈R,若z1=z2,则a=()

A.2 B.3 C.-3 D.9

答案：B

解析：因为z1=z2,所以a=3,

3.已知关于∈R)有实数根n,且z=m+ni,则复数z等于()

A.3+i B.3-i C.-3-i D.-3+i

答案：B

解析：由题意,可知n2+mn=-2+(2n+2)i,

∴n2+mn=-2

4.若复数z1=sin2θ+icosθ,z2=cosθ+i3sinθ(θ∈R),z1=z2,则θ等于()

A.kπ(k∈Z)

B.2kπ+π3(k∈

C.2kπ±π6(k∈Z)

D.2kπ+π6(k∈

答案：D

解析：由题意,可知sin2θ=cosθ

∴cosθ=32,sinθ=1

∴θ=π6+2kπ,k∈

5.已知z1=(-4a+1)+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R.若z1z2,则a的取值集合为.?

答案：{0}

解析：∵z1z2,

∴2

解得a=0.

故a的取值集合为{0}.

6.已知复数z1=m2+1+(m3+3m2+2m)i,z2=4m-2+(m2-5m)i,m为实数.若z1为实数,z2为虚数,则m的取值集合为.?

答案：{-1,-2}

解析：∵z1为实数,z2为虚数,

∴m3

∴m的取值集合为{-1,-2}.

7.设复数z=log2(m2-3m