人教A版高中同步训练数学必修第二册课后习题 第7章 复数 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 (2).docVIP

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7.2.1复数的加、减运算及其几何意义

课后·训练提升

基础巩固

1.已知复数z1=2-12i,z2=12-2i,则z1+z

A.0 B.32+52i C.5

答案：C

解析：z1+z2=2+12-

2.设z1=2+bi,z2=a+i,其中a,b∈R,当z1+z2=0时,复数a+bi为()

A.1+i B.2+i C.3 D.-2-i

答案：D

解析：由题意,可知z1+z2=2+a+(b+1)i=0,

则2+a=0,b+1=0,

3.若|z1|=5,z2=3+4i,且z1+z2∈R,则复数z1是()

A.3+4i

B.3-4i

C.3+4i或3-4i

D.3-4i或-3-4i

答案：D

解析：∵z1+z2∈R,∴设z1=a-4i(a∈R).

又|z1|=5,∴a2+16=25,解得a=±3.

∴z1=3-4i或z1=-3-4i.

4.已知复平面内点A,B,C对应的复数分别为i,1,4+2i,作?ABCD,则|BD|等于()

A.5 B.13 C.15 D.17

答案：B

解析：由题意,可知向量OA,

∵BA=OA-OB,BC=OC-OB,

∴|BD|=|2+3i|=13.

5.已知复数z1=1+icosθ,z2=sinθ-i,θ∈R,则|z1-z2|的最大值为()

A.3-22 B.2-1 C.3+22 D.2+1

答案：D

解析：|z1-z2|=|(1+icosθ)-(sinθ-i)|

=(

=3-

6.若复数z2=3+4i,z1-z2=5-2i,则z1=.?

答案：8+2i

解析：由题意,可知z1=5-2i+z2=5-2i+(3+4i)=8+2i.

7.若|z-2|=|z+2|,则|z-1|的最小值是.?

答案：1

解析：由|z-2|=|z+2|,知在复平面内z对应的点到点(2,0)与(-2,0)的距离相等,故z对应的点的集合为虚轴.|z-1|表示z对应的点与点(1,0)的距离,故|z-1|min=1.

8.如果一个复数与它的模的和为5+3i,那么这个复数为.?

答案：115

解析：设这个复数为x+yi(x,y∈R),则x+yi+x2+y

所以x+x2

故这个复数为115

9.已知四边形ABCD是复平面内的平行四边形,且A,B,C三点对应的复数分别为1+3i,-i,2+i,求点D对应的复数.

解：设点D对应的复数为x+yi(x,y∈R),

则AD对应的复数为(x+yi)-(1+3i)=(x-1)+(y-3)i,BC对应的复数为(2+i)-(-i)=2+2i.

∵AD=BC,

∴x-1=2

故点D对应的复数为3+5i.

能力提升

1.若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且在复平面内z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为()

A.3 B.2 C.1 D.-1

答案：D

解析：z1+z2=(2+i)+(3+ai)=5+(1+a)i.

∵在复平面内z1+z2所对应的点在实轴上,

∴1+a=0,∴a=-1.

2.(多选题)已知i为虚数单位,下列说法中正确的是()

A.若复数z满足|z-i|=5,则复数z对应的点在以(1,0)为圆心,5为半径的圆上

B.若复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=15+8i

C.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模

D.复数z1对应的向量为OZ1,复数z2对应的向量为OZ2,若|z1+z2|=|z1

答案：CD

解析：满足|z-i|=5的复数z对应的点在以(0,1)为圆心,5为半径的圆上,A错误;

在B中,设z=a+bi(a,b∈R),则|z|=a2

由z+|z|=2+8i,得a+bi+a2

∴a+a2

∴z=-15+8i,B错误;由复数的模的定义知C正确;由|z1+z2|=|z1-z2|的几何意义知,以OZ

3.已知复平面内的△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则复数z对应的点是△ABC的()

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

答案：A

解析：∵|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,∴复数z的对应点P到△ABC的三个顶点的距离相等,∴P为△ABC的外心.

4.如果复数z满足|z+2i|+|z-2i|=4,那么|z+i+1|的最小值为()

A.1 B.2 C.2 D.5

答案：A

解析：设复数-2i,2i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3.因为|z+2i|+|z-2i|=4,Z1Z2=4,所以复数z在复平面内对应的点Z的集合为线段Z1Z2.|z+i+1|的几何意义为点Z与Z3之间的距离,如图所示.

作Z3Z0⊥Z1Z2于点Z0,则当