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第3章 圆锥曲线与方程
第03讲抛物线
目标导航
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课程标准
重难点
理解抛物线的定义
掌握抛物线的几何意义
1.抛物线的定义
2.抛物线的焦半径与弦长
知识精讲
知识精讲
知识点一抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线:
(1)在平面内;
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等;
(3)定点不在定直线上.?
其中点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
知识点二抛物线的标准方程和几何意义
标准方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
F
F
F
F
离心率
e=1
准线方程
x=-
x=
y=-
y=
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中P(x0,y0))
|PF|=x0+
|PF|=-x0+
|PF|=y0+
|PF|=-y0+
若定点F在定直线l上,则动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线.
四种不同抛物线方程的异同点
共同点
(1)原点都在抛物线上;
(2)焦点都在坐标轴上;
(3)准线与焦点所在坐标轴垂直,垂足与焦点关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的,即=
不同点
(1)焦点在x轴上时,方程的右端为±2px,左端为y2;焦点在y轴上时,方程的右端为±2py,左端为x2;
(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,即焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,即焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.
知识点三常用结论
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则
(1)x1x2=,y1y2=-p2;
(2)|AF|=,|BF|=,弦长|AB|=x1+x2+p=(α为弦AB的倾斜角);
(3);
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切;
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切;
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.
能力拓展
能力拓展
考法01抛物线的定义及应用
例1(1)若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为2,O为坐标原点,则△OFP的面积为()
例1
A. B.1
C. D.2
(2)设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F是抛物线的焦点.若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为________.
【答案】(1)B(2)4
【解析】(1)设P(xP,yP),由题可得抛物线焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.
又点P到焦点F的距离为2,
∴由定义知点P到准线的距离为2.
∴xP+1=2,∴xP=1.
代入抛物线方程得|yP|=2,
∴△OFP的面积为S=·|OF|·|yP|=×1×2=1.
(2)如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,
则|P1Q|=|P1F|.
则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,
即|PB|+|PF|的最小值为4.
【跟踪训练】
1.(变条件)若将本例(2)中“B(3,2)”改为B(3,4),则|PB|+|PF|的最小值为________.
【答案】2
【解析】由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部.
∵|PB|+|PF|的最小值即为B,F两点间的距离,F(1,0),
∴|PB|+|PF|≥|BF|==2,
即|PB|+|PF|的最小值为2.
2.(变设问)在本例(2)条件下,点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值为________.
【答案】
【解析】如图,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是x=-1,
由抛物线的定义知点P到直线x=-1的距离等于点P到点F的距离.于是,问题转化为在抛物线上求一点P,使点P到点A(-1,1)的距离与点P到点F(1,0)的距离之和最小,显然,连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点,此时最小值为=.
【方法总结】
与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径.
[提醒]注意灵活运用抛物线上一点P(x,y)到焦点F的距离|PF|=|x|+或|PF|=|y|+.
考法02抛物线的标准方程与几何意义
例2(1)已知抛物线y2=2p
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