3.3 抛物线【同步精讲】（解析版）.docVIP

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第3章 圆锥曲线与方程

第03讲抛物线

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课程标准

重难点

理解抛物线的定义

掌握抛物线的几何意义

1.抛物线的定义

2.抛物线的焦半径与弦长

知识精讲

知识精讲

知识点一抛物线的定义

满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：

(1)在平面内；

(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；

(3)定点不在定直线上．?

其中点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

知识点二抛物线的标准方程和几何意义

标准方程

y2＝2px(p＞0)

y2＝－2px(p＞0)

x2＝2py(p＞0)

x2＝－2py(p＞0)

p的几何意义：焦点F到准线l的距离

图形

顶点

O(0,0)

对称轴

x轴

y轴

焦点

F

F

F

F

离心率

e＝1

准线方程

x＝－

x＝

y＝－

y＝

范围

x≥0，y∈R

x≤0，y∈R

y≥0，x∈R

y≤0，x∈R

开口方向

向右

向左

向上

向下

焦半径(其中P(x0，y0))

|PF|＝x0＋

|PF|＝－x0＋

|PF|＝y0＋

|PF|＝－y0＋

若定点F在定直线l上，则动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线．

四种不同抛物线方程的异同点

共同点

(1)原点都在抛物线上；

(2)焦点都在坐标轴上；

(3)准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的，即＝

不同点

(1)焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2；

(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同，即焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同，即焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取负号.

知识点三常用结论

设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；

(2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；

(3)；

(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；

(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；

(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．

能力拓展

能力拓展

考法01抛物线的定义及应用

例1(1)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为()

例1

A. B．1

C. D．2

(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．

【答案】(1)B(2)4

【解析】(1)设P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.

又点P到焦点F的距离为2，

∴由定义知点P到准线的距离为2.

∴xP＋1＝2，∴xP＝1.

代入抛物线方程得|yP|＝2，

∴△OFP的面积为S＝·|OF|·|yP|＝×1×2＝1.

(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，

则|P1Q|＝|P1F|.

则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，

即|PB|＋|PF|的最小值为4.

【跟踪训练】

1．(变条件)若将本例(2)中“B(3,2)”改为B(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．

【答案】2

【解析】由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．

∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，

∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝2，

即|PB|＋|PF|的最小值为2.

2．(变设问)在本例(2)条件下，点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．

【答案】

【解析】如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，

由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到点F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到点F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为＝.

【方法总结】

与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．

[提醒]注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.

考法02抛物线的标准方程与几何意义

例2(1)已知抛物线y2＝2p