群对集合的作用及其应用.pdfVIP

引言

群与集合是近世代数的基础内容，也是从实践中发展起来的比较抽象的学科内

容，群对集合的作用不仅在数学中居显著地位，而且在许多现代科学分支中居重要地

位.随着科学技术的发展，群的理论和方法获得了愈来愈广泛的应用，它还渗透到计

算机科学，通讯理论，系统科学、乃至数学经济等许多领域.因此，今天需要掌握和

了解群的知识的人愈来愈多.本文通过对群和集合的研究来事读者更清楚地了解群的

重要性及其应用，并总结出群和集合的重要内容来找出的关系同时对定理给与证明,

且引出群对集合的作用,从而将它应用在实际生活中更能体现出群的重要性.

因此，总结群对集合的作用，对于深刻理解和掌握群在实际问题中的应用的起到

了不可或缺的作用，从而使数学更好的为人类所利用.

1

1集合的基本概念

1.1集合的定义和性质

1.1.1集合的定义:若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简

称集）.组成一个集合的事物叫做这个集合的元素（有时简称元）.

1.1.2集合的性质：a.一个没有任何元素的集合叫做空集合.

b.若集合B的每一个元都属于集合A,我们说,B是A的子集;不然的话,我们说,B

不是A的子集.

若B是A的子集，我们说，B属于A，或是说，A包含B，用符号AB或BA

来表示.B不是A的子集，我们说，B不属于A，或是说，A不包含B，用符号BA

来表示.

注意：空集合被认为是任何集合的子集.

c.集合A和集合B的所有共同元所组成的集合叫做A和B的交集。

A和B的交集我们用符号A∩B来表示.

d.由至少属于集合A和B之一的一切元素组成的集合叫做A和B的并集A和B

的并集我们用符号A∪B来表示

e.若集合B是集合A的子集,而且至少有一个A的元不属于B,我们就说,B是A

的真子集；不然的话，我们说，B不是A的真子集.

若集合A和集合B所包含的元完全一样，那么A和B表示的是同一集合，这时

我们说，A等于B，用符号A=B来表示.

显然ABAB,BA

一个元a若同时属于A和B两个集合，我们说，a是A和B的共同元.

f.令A,A,,A是n个集合。由一切A,A,,A里顺序取出的元素组

12n12n

（a,a,,a)（aA)所做成的集合叫做集合A,A,A的积，记成

12nii12，n

AAA

12n

1.2其他定义:

2

定义1.2.1假如通过一个法则，对于任何一个AAA的元

12n

（a,a,,）a，(aA)都能得到一个唯一的D的元d，那么这个法则叫做到集合D

12nii

的一个映射;

元d叫做元（a,a,,a)在映射之下的象；元（a,a,,a)叫做元d在下的

12n12n

一个逆象

定义1.2.2一个AB到D的映射叫做一个AB到D的代数运算.

按照我们的定义,一个代数运算只是一种特殊的