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江苏省淮安市淮阴市七校2025届高三上学期九月联考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1．如图,已知矩形U表示全集,A、B是U的两个子集,则阴影部分可表示为()

A. B. C. D.

2．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为()

A. B. C. D.

3．已知点A是抛物线上一点,若A到抛物线焦点的距离为5,且A到x轴的距离为4,则()

A.1或2 B.2或4 C.2或8 D.4或8

4．圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4.已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为()

A. B.6 C. D.

5．将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9随机填入的正方形格子中，则每一横行?每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等的概率为()

A. B. C. D.

6．定义：已知数列的首项，前n项和为.设与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“”数列.若数列是“”数列，则数列的通项公式()

A. B.

C. D.

7．在的展开式中，含的项的系数是7，则()

A.1 B.2 C.3 D.4

8．已知函数是定义在R上的偶函数,且在区间单调递减,若,且满足,则a的取值范围是()

A. B. C. D.

二、多项选择题

9．欧拉公式（i为虚数单位,）是由数学家欧拉创立的,该公式建立了三角函数与指数函数的关联,被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式,下列选项正确的是()

A.的虚部为 B. C. D.的共轭复数为

10．对于随机事件A,B,若,,,则()

A. B. C. D.

11．如图，正方体的棱长为1，动点P在对角线上，过P作垂直于的平面，记平面与正方体的截面多边形（含三角形）的周长为L，面积为S，，，下面关于函数和的描述正确的是()

A.最大值为；

B.在时取得极大值；

C.在上单调递增，在上单调递减；

D.在上单调递增，在上单调递减

三、填空题

12．《易经》是中华民族智慧的结晶,易有太极,太极生两仪,两仪生四象,四象生八卦,易经包含了深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形ABCDEFGH,其中,O为正八边形的中心,则________.

13．已知数列满足，，，且，则_____.

14．已知函数,若存在实数,,且,使得,则的最大值为________.

四、解答题

15．已知锐角中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若.

(1)证明：;

(2)若,求的取值范围.

16．已知数列的前n项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和.

17．如图,四边形ABCD为菱形,平面ABCD.

（1）证明:平面平面PBD;

（2）若,二面角的大小为120°,求PC与BD所成角的余弦值.

18．已知椭圆的两个焦点分别为,,离心率为,点P为C上一点,周长为,其中为坐标原点.

（1）求C的方程;

（2）直线与C交于A,B两点,

（i）求面积的最大值;

（ii）设,试证明点Q在定直线上,并求出定直线方程.

19．已知函数.

（1）当时,求的单调区间;

（2）若函数存在正零点,

（i）求a的取值范围;

（ii）记为的极值点,证明:.

参考答案

1．答案：D

解析：在阴影部分区域内任取一个元素x,

则且,即且,

所以,阴影部分可表示为.

故选:D

2．答案：B

解析：由题意可知,三角形的周长为12,则,

,

因为,所以,当且仅当时等号成立,

所以的最大值为16,所以三角形面积的最大值.

3．答案：C

解析：由题意得,,

其中,故,解得或8,

故选:C

4．答案：答案：A

解析：P为圆台母线AB的中点，分别为上下底面的圆心，把圆台扩成圆锥，如图所示，

则，，，

由，有，，，

圆锥底面半径，底面圆的周长为，母线长，

所以侧面展开图的扇形的圆心角为，

即，如图所示，

质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则运动的最短路径为展开图弦，

，，有.

故选：A

5．答案：A

解析：符合题意的填写方法有如下8种：

而9个数填入9个格子有种方法

所以所求概率为，

故选：A．

6．答案：答案：B

解析：因为数列是“”数列，

则，

所以，

而，

，

，

，

，

，，

，

.

故选：B

7．答案：答案：D

解析：由题意可知展开式中