山东省济南市莱芜第一中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段性测数学试卷(含答案).docxVIP

山东省济南市莱芜第一中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段性测数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1．已知点关于z轴的对称点为B，则等于()

A. B. C.2 D.

2．直线的一个方向向量为()

A. B. C. D.

3．在空间四边形中，E，F分别为，的中点，则()

A. B. C. D.

4．已知点,,,若A,B,C三点共线,则a,b的值分别是()

A.,3 B.,2 C.1,3 D.,2

5．“”是“直线与直线垂直”的()

A.充要条件 B.必要不充分条件

C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

6．在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为()

A. B. C. D.6

7．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为()

A. B. C. D.

8．已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）.在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是()

A.

B.当时，

C.若，，则

D.平行六面体的体积

二、多项选择题

9．已知直线，，，则下列结论正确的是()

A.直线l恒过定点

B.当时，直线l的倾斜角为

C.当时，直线l的斜率不存在

D.当时，直线l与直线垂直

10．已知向量,,则下列结论正确的是()

A.若,则 B.若,则

C.的最小值为 D.的最大值为4

11．已知四面体满足，，则()

A.直线与所成的角为

B.直线与所成的角为

C.点M为直线上的动点，M到距离的最小值为

D.二面角平面角的余弦值为

三、填空题

12．在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数________.

13．已知，设直线，，若，则________.

14．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，当的长最小时，平面与平面夹角的正弦值为________.

四、解答题

15．菱形的顶点A，C的坐标分别为，，边所在直线过点.

(1)求，边所在直线的方程；

(2)求对角线所在直线的方程.

16．如图，在正四棱柱中，，，E，F分别为，的中点.

(1)证明：平面.

(2)求与平面所成角的正弦值.

17．已知直线.

（1）求证：直线l经过一个定点；

（2）若直线l交x轴的正半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.

18．如图，直角梯形中，，，B、M分别为、边的中点，将沿边折起到的位置，N为边的中点.

(1)证明：平面；

(2)当三棱锥的体积为，且二面角为锐二面角时，求平面与平面夹角的正切值.

19．如图，在三棱台中，，，N为的中点，二面角的大小为.

（1）求证：；

（2）若，求三棱台的体积；

（3）若A到平面的距离为，求的值.

参考答案

1．答案：D

解析：点关于z轴的对称点为，

所以.

故选：D

2．答案：B

解析：由得，，

所以直线的一个方向向量为，

而，所以也是直线的一个方向向量.

故选：B.

3．答案：C

解析：在空间四边形中，E为的中点，则，

所以.

故选：C

4．答案：D

解析：因为,,,

所以,,

因为A,B,C三点共线,所以存在实数k,使,

所以,

所以,解得,,.

故选:D

5．答案：C

解析：由直线与直线垂直，

得，解得或，

所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.

故选：C

6．答案：C

解析：因为，

所以

，

从而，即的长为.

故选：C.

7．答案：A

解析：由重心坐标公式可得：重心，即.

由，，可知外心M在的垂直平分线上，

所以设外心，因为，

所以，

解得，即：，

则，

故欧拉线方程为：，

即：，

故选：A.

8．答案：C

解析：对于A，，而，故，正确；

对于B，，当时，有意义，则，正确；

对于C，因为，，所以，，所以，错误；

对于D，的模长即为平行六面体底面的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知，

就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，正确.

故选：C

9．答案：BD

解析：对于选项A，直线，令，解得直线l恒过定点，选项A错误；

对于选项B，当时，设直线l的方程为，斜率为，倾斜角为，选项B正确；

对于选项C，当时，直线l的方程化为，斜率为0，斜率存在，选项C错误；

对