3.2 双曲线【同步精讲】（原卷版） (1).docVIP

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第3章 圆锥曲线与方程

第02讲双曲线

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课程标准

重难点

理解双曲线的概念与性质

2.掌握双曲线的几何性质

3.了解渐近线的意义及计算方法

1.掌握双曲线的离心率与渐近线斜率之间的关系

2.掌握椭圆与双曲线的综合问题

知识精讲

知识精讲

知识点一双曲线的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零?常数(小于|F1F2|)?的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.

知识点二双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

(a＞0，b＞0)

(a＞0，b＞0)

图形

性质

范围

x≤－a或x≥a，y∈R

y≤－a或y≥a，x∈R

对称性

对称轴：坐标轴

对称中心：原点

顶点

顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)

顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)

渐近线

y＝±x

y＝±x

离心率

e＝，e∈(1，＋∞)

a，b，c的关系

c2＝a2＋b2

实虚轴

线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；

线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；

a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长

若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而定．

设双曲线上的点M到两焦点F1，F2的距离之差的绝对值为2a，则0＜2a＜|F1F2|，这一条件不能忽略．

①若2a＝|F1F2|，则点M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；

②若2a＞|F1F2|，则点M的轨迹不存在；

③若2a＝0，则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.

知识点三常用结论

1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.

2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.

3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.

4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2.

5．若P是双曲线(a＞0，b＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a.

6．等轴双曲线

(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．

(2)性质：①a＝b；②e＝；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．

7．共轭双曲线

(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．

(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.

能力拓展

能力拓展

考法01双曲线的标准方程

例1（1）已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C的标准方程为()

例1

A. B.

C. D.

（2）与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线标准方程是()

A.－y2＝1 B.－y2＝1

C.－＝1 D．x2－＝1

3．过双曲线C：(a＞b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为()

A. B.

C. D.

【方法总结】

(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为＝λ(λ≠0)．

(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．

求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．

考法02双曲线的定义及其应用

例2(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．

例2

(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，