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第3章 圆锥曲线与方程
第02讲双曲线
目标导航
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课程标准
重难点
理解双曲线的概念与性质
2.掌握双曲线的几何性质
3.了解渐近线的意义及计算方法
1.掌握双曲线的离心率与渐近线斜率之间的关系
2.掌握椭圆与双曲线的综合问题
知识精讲
知识精讲
知识点一双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零?常数(小于|F1F2|)?的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.
知识点二双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
(a>0,b>0)
(a>0,b>0)
图形
性质
范围
x≤-a或x≥a,y∈R
y≤-a或y≥a,x∈R
对称性
对称轴:坐标轴
对称中心:原点
顶点
顶点坐标:A1(-a,0),A2(a,0)
顶点坐标:A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线
y=±x
y=±x
离心率
e=,e∈(1,+∞)
a,b,c的关系
c2=a2+b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;
线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;
a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉,则点的集合是双曲线的一支,具体是左支还是右支视情况而定.
设双曲线上的点M到两焦点F1,F2的距离之差的绝对值为2a,则0<2a<|F1F2|,这一条件不能忽略.
①若2a=|F1F2|,则点M的轨迹是分别以F1,F2为端点的两条射线;
②若2a>|F1F2|,则点M的轨迹不存在;
③若2a=0,则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
知识点三常用结论
1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦),其长为;异支的弦中最短的为实轴,其长为2a.
4.若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则S△PF1F2=,其中θ为∠F1PF2.
5.若P是双曲线(a>0,b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,I为△PF1F2内切圆的圆心,则圆心I的横坐标为定值a.
6.等轴双曲线
(1)定义:中心在原点,以坐标轴为对称轴,实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.
(2)性质:①a=b;②e=;③渐近线互相垂直;④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.
7.共轭双曲线
(1)定义:如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴,那么这两条双曲线互为共轭双曲线.
(2)性质:①它们有共同的渐近线;②它们的四个焦点共圆;③它们的离心率的倒数的平方和等于1.
能力拓展
能力拓展
考法01双曲线的标准方程
例1(1)已知双曲线C:(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,且其右焦点为(5,0),则双曲线C的标准方程为()
例1
A. B.
C. D.
(2)与椭圆+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线标准方程是()
A.-y2=1 B.-y2=1
C.-=1 D.x2-=1
3.过双曲线C:(a>b>0)的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的标准方程为()
A. B.
C. D.
【方法总结】
(1)待定系数法:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出参数a,b,c的方程并求出a,b,c的值.与双曲线有相同渐近线时,可设所求双曲线方程为=λ(λ≠0).
(2)定义法:依定义得出距离之差的等量关系式,求出a的值,由定点位置确定c的值.
求双曲线的标准方程时,若焦点位置不确定,要注意分类讨论.也可以设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0)求解.
考法02双曲线的定义及其应用
例2(1)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为____________________.
例2
(2)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,
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