《复数》章末归纳复习.docVIP

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章末归纳复习

知识网络建构

答案

=1\*GB3①=2\*GB3②0=3\*GB3③0=4\*GB3④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥=7\*GB3⑦=8\*GB3⑧=9\*GB3⑨=10\*GB3⑩???

知识要点整合

一、复数的有关概念及分类

1.复数的有关概念.

(1)虚数单位；（2）复数的代数形式；（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数.

2.复数集.

3.解决复数的分类问题时，主要根据复数是实数、虚数、纯虚数的充要条件进行求解，列出相应的等式或不等式组求出参数的值或范围，但是若已知的复数z不是的形式，应先化为这种形式，得到复数的实部、虚部再进行求解.

4.复数分为实数、虚数，虚数又包括纯虚数，要判断一个复数是否为实数可根据定义判断，也可由z与是否相等来判断,要判断一个复数是否为纯虚数，根据定义需满足：实部为零且虚部不为零，或由来判断主要考查角度：(1)利用复数的运算，确定复数的实部或虚部;(2)根据复数的分类求参数的值.

例1(1)已知,则复数的虚部为（）

A.

B.2

C.

D.

(2)复数,其中为虚数单位,则的实部是_____.

解析（1）因为,所以复数的虚部为.

(2)因为,所以的实部为.

答案(1)D(2)5

例2(1)若复数是纯虚数,则实数的值为（）

A.1

B.2

C.1或2

D.

(2)若为实数,且为实数,则（）

A.1

B.

C.

D.

解析（1）依题意,有解得.

(2)因为是一个实数,所以,所以.

答案(1)B(2)B

二、复数的四则运算

1.复数四则运算的法则.

若两个复数,则

（1）加法:;

（2）减法:;

（3）乘法:;

（4）除法:.

2.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算,可将含有虚数单位的看作一类同类项,不含的看作另一类同类项,分别合并即可.

3.复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数,即分母实数化,解题中要注意把的幂写成最简形式.主要考查角度:复数的加、减运算;复数的乘、除运算;(3)复数的四则混合运算.

例3(1)设是虚数单位),则（）

A.

B.

C.

D.

(2)已知复数在复平面内的对应点关于实轴对称,若为虚数单位,则（）

A.

B.

C.

D.

解析因为,所以

，

则.

(2)由题意,复数在复平面内的对应点关于实轴对称,,则,

所以.

答案（1）C（2）A

例4已知复数为虚数单位).

（1）若是纯虚数,求实数的值;

（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限,求实数的取值范围.

解析（1)利用复数代数形式的乘法运算化简,再由实部为0且虚部不为0求解.由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解.

答案（1）由是纯虚数,

（2）根据题意在复平面上对应的点在第四象限,

可得.

实数的取值范围为.

三、特殊复数的运算

1.常用结论.

（1）为正整数的周期性运算:；

（2）；

（3）.

2.在进行复数的代数运算时,记住以上结论,可提高计算速度,能够快速地解答选择题与填空题,为解决其他题目提供更充分的时间.

例5（1）已知为虚数单位,则复数等于（）

A.1+i

B.1-i

C.

D.

（2）计算（）

A.

B.0

C.

D.2

解析（1）由题意,得.

（2）∵，

.

答案（1）D（2）B

例6（1）已知复数，则复数_____;

（2）计算_____；

（3）计算_____.

解析（1）因为，

而，

所以.

（2）

.

（3）

.

答案（1）（2）（3）0

例7已知复数,其中是实数.

（1）若在复平面内表示复数的点位于第一象限,求的范围;

（2）若是纯虚数,是正实数,=1\*GB3①求,=2\*GB3②求.

解析（1）利用复数代数形式的乘法运算化简,再由实部与虚部均大于0求解.(2)利用复数代数形式的除法运算化简,求得值,再由虚数单位的性质求解.

答案（1）在复平面内表示的点位于第一象限，

解得.

（2）依题意得:是纯虚数，

,即,

解得舍或,

当时,，

.

四、复数的几何意义

1.复数的几何形式.

（1）用点表示复数,用向量表示复数称为在复平面上的对应点,复数与复平面上的点一一对应(坐标原点对应实数0)．

（2）任何一个复数一一对应复平面内一个点,也一一对应着一个从原点出发的