高数知识问答.doc

第一章函数与极限问答题

1．本章的基本概念是函数、极限和连续，简要概括这些概念在整个微积分中的地位与作用。

答：这几个概念是微积分学的基础。连续函数是微积分学的主要研究对象，极限方法是微积分学的基本研究方法。

2．无界函数与无穷大的区别是什么？

答：无穷大一定是无界函数，但是无界函数不一定是无穷大。无穷大是在某个极限过程中整体趋势都是很大，而无界函数的很大不是整体趋势。例如x与sinx的乘积当x趋于无穷大时是无界的，但不是无穷大(因为该函数在这个极限过程中始终有等于0的点存在，即并不是整体趋于的)。

3．复合函数的极限的计算中，为什么要注意验证，如果该条件不成立，原来的计算结论会不成立吗？

答：对于由与构成的复合函数，如果函数在处连续，那么时结论仍成立，否则可能不成立。

例如，当时极限为1；但是如果为常函数0，则当时,当然趋于0,但复合函数的极限为0，而不是1。

4．数列极限存在准则中的条件是否可以改为：，当时，。为什么？

答：可以。因为数列极限研究的是时的趋势，与前面有限项的大小无关。换句话说，去掉前面不符合的有限项之后形成的新的三个数列的极限其实和以前的三个数列的极限相等。

5．无穷小之和一定是无穷小吗？举例说明。

答：不一定。正确的说法是有限个无穷小之和仍然是无穷小。

例如

这里是无限个无穷小的和等于

6．利用等价无穷小替换的方法可使极限运算更加方便，常用的等价无穷小替换公式有哪些？

答：（1）（2）（3）（4）（5）

（6）（7）（8）（9）

（10）

7．如何理解研究是否间断点必须以在点的某去心邻域内有定义为前提？

答：如果在的附近没有定义，那么研究函数在处是否间断或连续就失去了意义。比如在及附近无定义，我们不能说是函数的间断点，当然也不能说是函数的连续点，本来在这一点就没必要研究这个问题。

8．函数的定义域与定义区间是什么关系？

答：定义区间与定义域有所不同，定义区间是含于定义域内的，是一个区间，定义域不一定是区间。

9．试列举一些计算极限的方法。

(1)利用极限定义，验证某常数为已知变量的极限

(2)利用函数的连续性求极限；

(3)利用极限的四则运算求极限；

(4)利用无穷小的性质求极限；

(5)利用两个重要极限求极限；

(6)利用夹逼准则和单调有界准则求极限。

10．什么叫渐近线？一般来说函数有几种渐近线，如何求？

答：是一条直线且与给定曲线在某个极限过程中足够靠近。

曲线的渐近线有三种，（1）水平渐近线（2）铅直渐近线（3）斜渐近线

求法：（1）设，则是水平渐进线。

（2）设，则是铅直渐进线。

（3）如果存在，说明曲线有斜渐近线，进一步求得，

则是曲线的斜渐近线。

导数与微分问答

一、问题

1在点的导数定义是什么？

2的数学意义是什么？

3的几何意义是什么？

4设质点沿直线运动的位置函数为，则表示什么？

5求的方法有几种？各是什么？每种方法如何运用？

6设，因为，所以，上述做法对不对？

若不正确请指出错误的原因。

7函数在点可导与在连续是什么关系？

8若在点不可导，曲线在点处是否一定无切线？

9函数和的四则运算求导法则成立的前提是什么？

10如何求反函数的导数？

11复合函数的求导法则是什么？应用时需注意什么？

12初等函数的求导问题是否已经解决？初等函数在其定义域内每一点是否都可导？

13如何求？如何求？

14设，如何求的100阶导函数？

15方程确定隐函数如何求导？求导时注意什么？

16幂指函数如何求导？

17参数方程确定的函数如何求导？求二阶导时需注意什么？

18什么是函数在处的微分？如何求？

19函数在一点可微与可导的关系是什么？

20微分的几何意义是什么？

二、解答

1设在内有定义，当自变量在处取得增量时，相应地函数取得增量；若存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数。

注意：1是函数在处当自变量有微小的增量时，相应的函数增量

与比，当时的极限。因而不仅与在的函数值有关，而且与在的函数状态有关。

2由于自变量增量表示呈多样性，定义的数学表达式呈多样性。

如当自变量增量为时，

当自变量增量为时，

当自变量增量为时，

2表示在区间或上的平均变化率，所以表示在处的变化率。即：在处当自变量有相同的微小改变时，导数越大的函数，函数值的改变越大。

3的几何意义：是曲线在点处的切线斜率。

4表示质点在时刻的速度。

5两种方法：（1）利用导数定义。（2）利用

通常在下列3种情况下利用导数定义求函数在一点的导数：

（1）求分段函数在分段点的导数