《基本不等式》同步学案(学生版) (1).docxVIP

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《基本不等式》同步学案

情境导入

我校第二教学楼在建造过程中,需建一座长方体形的净水处理池,该处理池的底面积为200m2,深度为5m,如图,该处理池由左右两部分组成,中间是一条间隔的墙壁,池的外围周壁建造单价为400元/m2,中间的墙壁(不需考虑该墙壁的左右两面)建造单价为100元/m2,池底建造单价为60元/m

自主学习

自学导引

1.重要不等式.

当a,b是任意实数时,有a2+b2?_________,当且仅当

2.基本不等式.

(1)有关概念:当a,b均为_________时,把_______叫做正数a,b的算术平均数,把_________叫做正数a,b的几何平均数.

(2)不等式:当a,b是任意正实数时,a,b的几何平均数不大于它们的算术平均数,即_________,当且仅当________时,等号成立.

(3)变形:ab?________,a+b?________(其中a0,b0,当且仅当a=b时,等号成立).

3.已知x,y都是正数,则

(1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值_________;

(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值__________.

预习测评

1.已知x≠0,则y=x2

A.最小值2

B.最大值2

C.最小值1

D.最大值1

2.已知x,y都是正数,如果xy=15,则x+y的最小值是___________.

3.已知x,y都是正数,如果x+y=15,则xy的最大值是___________.

4.学校要建一个面积为392m2的长方形游泳池,并且在四周要修建出宽为2m和4m的小路(如图所示),则当游泳池的长为_______m、宽为_______m时,

新知探究

探究点1基本不等式

知识详解

如果a0,b0,那么ab?a+b2,当且仅当a=b时

其中,a+b2叫做正数a,b的算术平均数,ab叫做正数a,b的几何平均数

因此,基本不等式可以叙述为:当a,b是任意正实数时,a,b的几何平均数不大于它们的算术平均数.

特别提示

(1)基本不等式成立的条件:a0,b0.

①若a0,b0,如a=-2,b=-4,会出现-2×-4

②若a,b中有一个小于0,如a=-2,b=4,则

-2×4无意义

③若a或b等于0,虽然该不等式成立,但没有研究的意义和必要.

(2)基本不等式的常见变形式:a+b?2ab,ab?

(3)事实上,当a0,b0时,我们分别用a,b代替重要不等式a2+b2?2ab中的a,b

典例探究

例1已知a,b∈R,且ab0,则下列结论恒成立的是

A.a

B.a+b?2

C.1

D.b

变式训练1已知0ab,则下列不等式正确的是()

A.ab

B.a

C.a

D.ab

探究点2最值定理

知识详解

已知x,y都是正数,则:

(1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2P

(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值14

最值定理简记:和定积最大,积定和最小.

特别提示

(1)最值定理是求最值时应用极广的定理之一.

(2)利用基本不等式求最值要牢记三个关键词:一正、二定、三相等.

①一正:各项必须为正;

②二定:各项之和或各项之积为定值;

③三相等:必须验证取等号时条件是否具备.

(3)应用基本不等式求最值的关键:依定值去探求最值,探求的过程中常需依具体的问题进行合理的拆、凑、配等变换.

典例探究

例2下列结论正确的是()

A.当x0且x≠1时,x+

B.当x0时,x

C.当x≠0时,x+1x

D.当x0时,x+1x

变式训练2给出下面三个推导过程:

(1)∵ab0,∴a

(2)∵a∈R

(3)∵x,y∈R

其中正确的推导为________.

探究点3利用基本不等式解应用题

知识详解

在应用基本不等式解决实际问题时,应注意如下的思路和方法:

(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数;

(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;

(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;

(4)根据实际背景写出答案.

典例探究

例3如图所示,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.现有可围36m长的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?

变式训练3例3中其他条件不变,若使每间虎符面积为24m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,

易错易混解读

例若x0,y0,且x+2y=1,求1x+

课堂检测

1.函数y=4x+25x

A.20

B.30

C.40

D.5