人教A版高中同步训练数学必修第二册课后习题 第8章 立体几何初步 8.6.2 第1课时 直线与平面垂直的判定定理 (3).docVIP

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8.6.2直线与平面垂直

第1课时直线与平面垂直的判定定理

课后·训练提升

基础巩固

1.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等,则这两条直线()

A.平行 B.相交

C.异面 D.以上都有可能

答案:D

2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若G为CC1的中点,则直线AG与侧面BCC1B1所成角的正弦值是()

A.23 B.3

C.53 D.

答案:A

解析:连接AC,BG(图略),设正方体棱长为2,由正方体的性质知AB⊥平面BCC1B1,则∠AGB是直线AG与侧面BCC1B1所成的角,由AG2=AC2+CG2=AB2+BC2+CG2=9,

所以sin∠AGB=ABAG

故选A.

3.(多选题)如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,则下列结论正确的是()

A.CD∥平面PAF

B.DF⊥平面PAF

C.CF∥平面PAB

D.CF⊥平面PAD

答案:ABC

解析:在正六边形ABCDEF中,易知CD∥AF,DF⊥AF,CF∥AB,由线面平行的判定定理,可知CD∥平面PAF,CF∥平面PAB,故A,C正确.因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥DF,又DF⊥AF,PA∩AF=A,所以DF⊥平面PAF,故B正确.易知CF与AD不垂直,故D错误.故选ABC.

4.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,下列能使A1C⊥BC1的是()

A.AB=AC B.AA1=AC

C.BB1=AB D.CC1=BC

答案:B

解析:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,即AB⊥AC,

又AA1⊥AB,AA1∩AC=A,所以AB⊥平面AA1C1C.又A1C?平面AA1C1C,所以AB⊥A1C.如图,连接AC1,

若AA1=AC,则矩形AA1C1C为正方形,所以A1C⊥AC1.又AB∩AC1=A,所以A1C⊥平面ABC1.又BC1?平面ABC1,所以A1C⊥BC1.故选B.

5.在三棱锥P-ABC中,点O是点P在底面ABC内的射影.若点P满足以下两种情形:①点P到△ABC三边的距离相等;②PA,PB,PC与底面ABC所成的角相等.则点O分别是△ABC的()

A.重心,垂心 B.内心,外心

C.内心,垂心 D.垂心,外心

答案:B

解析:若点P到△ABC三边的距离相等,则点O到△ABC三边的距离相等,故点O是△ABC的内心;若PA,PB,PC与底面ABC所成的角相等,则点O到点A,B,C的距离相等,故点O是△ABC的外心.

6.如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,PA⊥平面ABC,此图形中有个直角三角形.?

答案:4

解析:∵PA⊥平面ABC,

∴PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC,

∵AC⊥BC,且PA∩AC=A,

∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC.

综上知△ABC,△PAC,△PAB,△PBC都是直角三角形,共有4个.

7.如图,已知在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,AB=5,BC=4,AA1=4,点D是AB的中点.

(1)求证:AC⊥BC1;

(2)求证:AC1∥平面CDB1.

证明:(1)∵AC=3,AB=5,BC=4,

∴在△ABC中,AC2+BC2=AB2,

∴AC⊥BC.

又CC1⊥平面ABC,AC?平面ABC,

∴AC⊥CC1.

又BC∩CC1=C,∴AC⊥平面BCC1B1.

∵BC1?平面BCC1B1,∴AC⊥BC1.

(2)设B1C交BC1于点E,则点E为BC1的中点,连接DE(图略),

又D是AB中点,则在△ABC1中,DE∥AC1.又DE?平面CDB1,AC1?平面CDB1,

∴AC1∥平面CDB1.

8.如图,AB为圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,M为圆周上不同于点A,B的任意一点,AN⊥PM,N为垂足.

(1)求证:AN⊥平面PBM;

(2)若AQ⊥PB,垂足为Q,求证:NQ⊥PB.

证明:(1)∵AB为圆O的直径,

∴AM⊥BM.

又PA⊥平面ABM,∴PA⊥BM.

又PA∩AM=A,∴BM⊥平面PAM.

又AN?平面PAM,∴BM⊥AN.

又AN⊥PM,BM∩PM=M,

∴AN⊥平面PBM.

(2)由(1)知AN⊥平面PBM,

又PB?平面PBM,∴AN⊥PB.

又AQ⊥PB,AN∩AQ=A,

∴PB⊥平面ANQ.

又NQ?平面ANQ,∴NQ⊥PB.

9.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面是边长为1的菱形,∠ADC=60°,PA=2,M是PB的中点.

(1)求证:PD∥平面ACM;

(2)求直线CM与平面PAB所成角的正弦值.

(1)证明如图,连接BD,交AC于点O,连接OM.

因为底面ABC