人教A版高中同步训练数学必修第二册课后习题 第6章 平面向量及其应用 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 (3).docVIP

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6.3.5平面向量数量积的坐标表示

课后·训练提升

基础巩固

1.已知a=(-4,3),b=(5,6),则3|a|2-4a·b等于()

A.23 B.57

C.63 D.83

答案:D

解析:因为|a|2=(-4)2+32=25,a·b=(-4)×5+3×6=-2,所以3|a|2-4a·b=3×25-4×(-2)=83.

2.设向量a与b的夹角为θ,a=(2,1),a+3b=(5,4),则sinθ等于()

A.1010 B.1

C.31010

答案:A

解析:设b=(x,y),则a+3b=(2+3x,1+3y),

又因为a+3b=(5,4),

所以2+3x=5,1+3y=4,

所以cosθ=a·

所以sinθ=1-

3.已知向量a=(1,-1),b=(1,2),向量c满足(c+b)⊥a,(c-a)∥b,则c等于()

A.(2,1) B.(1,0)

C.32

答案:A

解析:设向量c=(x,y),则c+b=(x+1,y+2),c-a=(x-1,y+1),

因为(c+b)⊥a,所以(c+b)·a=x+1-(y+2)=x-y-1=0,①

因为(c-a)∥b,

所以2(x-1)-(y+1)=0,即2x-y-3=0.②

联立①②,解得x=2

所以c=(2,1).

4.在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,点P是AB的中点,则CB·

A.94 B.4

C.92

答案:C

解析:如图,建立平面直角坐标系,则A(4,0),B(0,3),C(0,0),P2,

所以CB=(0,3),CP=2,32

5.(多选题)设向量a=(k,2),b=(1,-1),则下列叙述正确的是()

A.若k-2,则a与b的夹角为钝角

B.|a|的最小值为2

C.与b共线的单位向量只有一个为(22,-2

D.若|a|=2|b|,则k=22或-22

答案:AB

解析:A中,当k-2时,a·b=k-20,且当k=-2时,a,b共线反向,故k-2时,a与b的夹角为钝角,故A正确;B中,|a|=k2+4≥2,当k=0时,|a|取得最小值2,故B正确;C中,(-22,22)也是与b共线的单位向量,故C错误;D中,由|a|=2|b|,得k

6.已知向量a=(-1,x),b=(x+2,x),若|a+b|=|a-b|,则x=.?

答案:-1或2

解析:已知向量a=(-1,x),b=(x+2,x),因为|a+b|=|a-b|,两边平方得到a·b=0,根据向量的坐标运算公式得x2-x-2=0,解得x=-1或x=2.

7.已知a=(1,2),b=(-3,2),若ka+b与a-3b垂直,则实数k的值为.?

答案:19

解析:由已知得ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).

因为ka+b与a-3b垂直,所以(ka+b)·(a-3b)=0,即(k-3)·10+(2k+2)·(-4)=0,得k=19.

8.如图,在2×4的方格纸中,已知向量a,b的起点和终点均在格点上,则向量a+b,a-b的夹角的余弦值为.?

答案:-4

解析:不妨设每个小正方形的边长为1,建立平面直角坐标系,如图所示,

则a=(2,-1),b=(3,2),

所以a+b=(5,1),a-b=(-1,-3),

所以(a+b)·(a-b)=-5-3=-8,|a+b|=26,|a-b|=10,

所以向量a+b,a-b的夹角的余弦值为-826×

9.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).

(1)若a⊥b,求x的值;

(2)若a∥b,求|a-b|.

解:(1)∵a⊥b,

∴a·b=0,即2x+3+x(-x)=0,

解得x=-1或x=3.

(2)∵a∥b,

∴-x-x(2x+3)=0,

解得x=0或x=-2.

当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),

∴a-b=(-2,0),

∴|a-b|=2;

当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),

∴a-b=(2,-4),

∴|a-b|=25.

综上所述,|a-b|=2或25.

10.在△ABC中,AB=(2,3),AC=(1,k),若△ABC是直角三角形,求k的值.

解:∵AB=(2,3),AC=(1,k),

∴BC=

若∠A=90°,则AB·AC=2×1+3k=0,解得k=-

若∠B=90°,则AB·BC=2×(-1)+3(k-3)=0,解得k=

若∠C=90°,

则AC·

解得k=3±13

综上,k的值为-23

能力提升

1.以下选项中,一定是单位向量的有()

①a=(cosθ,-sinθ);②b=(lg2,lg5);③c=(2x,2-x);

A.1个 B.