人教B版高中数学必修第二册课后习题 第六章 平面向量初步 6.2.1 向量基本定理.docVIP

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6.2向量基本定理与向量的坐标

6.2.1向量基本定理

必备知识基础练

1.在四边形OABC中,CB=12OA,若OA=a,

A.a-12b B.12

C.b+12a D.b-1

2.如图,在△ABM中,BM=3CM,AN=27AM,若AN=λ

A.-17 B.17 C.-2

3.(多选题)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,且BC=3EC,F为AE的中点,则()

A.BC=-1

B.AF

C.BF=-2

D.CF

4.如图,在△ABC中,设AB=a,AC=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P.若AP=ma+nb,则m+n= ()

A.12 B.23 C.

5.如图,在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,F为DE的中点.若AF=mAB+nAD,则mn=

6.如图,在△ABC中,AD=13DC,P是线段BD上一点.若AP=m

7.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1=,λ2=

8.已知△OAB中,点D在线段OB上,且OD=2DB,延长BA到C,使BA=AC.设OA=a,OB=b.

(1)用a,b表示向量OC,

(2)若向量OC与OA+k

关键能力提升练

9.已知a,b为非零不共线向量,向量8a-kb与-ka+b共线,则k=()

A.22 B.-22

C.±22 D.8

10.(多选题)如图①,“六芒星”是由两个全等正三角形组成,中心重合于点O,且三组对边分别平行,A,B是“六芒星”(如图②)的两个顶点,动点P在“六芒星”上(内部以及边界).若OP=xOA+yOB,则x+y的取值可能是()

A.-6 B.1 C.5 D.9

11.在平面四边形ABCD中,已知△ABC的面积是△ACD的面积的2倍.若存在正实数x,y使得AC=

A.1 B.2 C.3 D.4

12.如图,在△ABC中,D为BC的中点,G为AD的中点,过点G任作一直线MN分别交AB,AC于M,N两点.若AM=xAB,AN=yAC,试问:

学科素养创新练

13.如图所示,在?ABCD中,AD,DC边的中点分别为E,F,连接BE,BF,与AC分别交于点R,T.求证:AR=RT=TC.

参考答案

6.2向量基本定理与向量的坐标

6.2.1向量基本定理

1.D由CB=OB-OC=12OA,可得OB=

2.DAN=27AM=27(AB+BM

3.ABC∵AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,

∴BC=BA+AD+

∵BC=3EC,∴BE=23

∴AE=AB+BE

BF=BA+AF=-

CF=CB+BF=

4.C由题意可得AP=2QP,QB=2

∵AB=a=AQ+QB=1

AC=AP

∴由①②解方程求得AP=27

又AP=ma+nb,∴m=27,n=47,m+n=

5.23AF

∵AF=mAB+nAD,∴m=12,n=34,∴

6.13设BP=λBD,∵AD=13

∴AP=AB+BP=AB+λ

∵AP=mAB+16AC,

7.-162

∴AE-

∴AE=

∴DE=AE-12AB=13AB+23

8.解(1)∵A为BC的中点,

∴OA=

∴OC=2OA-

∴DC=OC-

(2)由(1)得OA+kDC=(2k+1)a-53

∵OC与OA+kDC共线,设OC=λ(OA+k

即2a-b=λ(2k+1)a+-5

根据平面向量基本定理,得2=

解得k=34

9.C∵向量8a-kb与-ka+b共线,∴存在实数λ,使得8a-kb=λ(-ka+b),即8a-kb=-kλa+λb.又a,b为非零不共线向量,∴8=-kλ,

10.BC如右图所示,设OA=a,OB=b,求x+y的最大值,只需考虑下图中以O为起点,6个顶点为终点向量即可,讨论如下:

①∵OA=a,∴(x,y)=(1,0).

②∵OB=b,∴(x,y)=(0,1).

③∵OC=

∴(x,y)=(1,2).

④∵OD=OC+

∴(x,y)=(2,3).

⑤∵OE=OA+

⑥∵OF=OA+

∴x+y的最大值为2+3=5.根据其对称性,可知x+y的最小值为-5,

故x+y的取值范围是[-5,5],观察选项,选项B,C均符合题意.

11.A如图,设AC与BD交于点M,由△ABC的面积是△ACD的面积的2倍,可得BM=2MD,所以AM=AB+

又A,M,C三点共线,即AM,

所以存在实数k使得AC=kAM.

因为AC=

所以1x-4=

又因为x0,y0,

所以2x+y=19·(2x+y)2x+1y=195+2yx+2x

当且仅当2yx=

所以2x+y的最