压轴题 圆的五种考法（学生版）--九年级数学常考压轴题.pdf

压轴题圆的五种考法

解题知识必备目录

压轴题型讲练

类型一、四点共圆

类型二、圆中最值问题

类型三、定点定长构造辅助圆

类型四、定弦定角构造辅助圆

类型五、对角互补构造辅助圆

压轴能力测评(10题)

类型一、四点共圆

一．填空题

1.(2022秋•大丰区期中)如图，ΔABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°．以AD为弦的圆分别交AB、

AC于E、F两点．点G在AC边上，且满足∠EDG=120°．若CD=4+22，则ΔDEG的面积的最小

值是．

二．解答题

2.(2022秋•建湖县期中)如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB=DC，∠DAE是四边形ABCD的一

个外角．

(1)若∠DAE=75°，则∠DAC=°；

(2)过点D作DE⊥AB于E，判断AB、AE、AC之间的数量关系并证明；

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(3)若AB=6、AE=2，求BD-AD的值．

1

3.(2023秋•鄞州区期中)如图，在△ABC中，点D，E为AB，AC上的点，BE=CD，DC，BE交于F，

△BDF与△CEF的外接圆相交于点G(异于F)，H，H分别为△ABC和△ADE的垂心．

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证明：(1)GF平分∠BFC；

(2)H，H，G三点共线．(注：利用坐标系、复数解题者不给分)1

2

4.(2022秋•沙坪坝区校级期中)在ΔABC中，已知AB=AC，作AM⊥BC，D是AM上一点，∠DBC=

30°，连接BD、CD，在BD上截取DE=AD，连接AE．

(1)如图1所示，若∠BAC=90°，AD=3，求ΔABE的周长；

(2)如图2所示，若分别取AE、AC的中点N、H，连接MN、MH，求证：MN=MH；

(3)如图3所示，∠BAC=90°，BC=2，将AC沿着直线AP翻折得到AQ，连接BQ，直线BQ交AP于

点P，N为AE中点，当PN取得最小值时，请直接写出ΔAPN的面积．

2

5.(2022秋•鼓楼区期中)以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？

Ⅰ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆(图1、2)；

Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆(图3)；

Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆(图4)．

(1)在图1、2中，取AC的中点O，根据得OA=OB=OC=OD，即A，B，C，D共圆；

(2)在图3中，画⊙O经过点A，B，D(图5)．假设点C落在⊙O外，BC交⊙O于点E，连接DE，可得

=180°，所以∠BED=，得出矛盾；同理点C也不会落在⊙O内，即A，B，C，D共圆．结

论Ⅲ同理可证．

(3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点．

已知：如图6，锐角三角形ABC的高BD，CE相交于点H，射线AH交BC于点F．

求证：AF是ΔABC的高．(补全以下证明框图，并在图上作必要标注)

(4)如图7，点P是ΔABC外部一点，过P作直线AB，BC，CA的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，

E，F在同一条直线上．求证：点P在ΔABC的外接圆上．

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类型二、圆中最值问题

一．填空题

6.(2022秋•长沙期中)如图，⊙O的半径为1，PA，PB为⊙O的切线，切点为A，B，∠APB=60°，点M为

劣弧AB上一动点，过点M作⊙O的切线，分别交PA，PB于点E，F，EF的最小