《平面向量加、减运算的坐标表示》同步学案（教师版） (1).docxVIP

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《平面向量加、减运算的坐标表示》同步学案

情境导入

我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可以用一对有序实数(即它的坐标)表示.那么,对于直角坐标平面内的每一个向量,如何用坐标表示呢?若知道平面向量的坐标,量如何进行运算呢?

自主学习

自学导引

1.平面向量的坐标表示.

(1)向量的正交分解:把一个向量分解为两个的向量,叫做把向量作正交分解.

(2)向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个分别为i,j,取ij作为基底.对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=,我们把叫做向量a的坐标.其中,x叫做a在上的坐标,y叫做a在上的坐标,叫做向量a的坐标表示.

(3)特殊向量的坐标表示:i=,j=,0

(4)向量坐标的求法:在平面直角坐标系中,若Axy,则OA=,若Ax1y1,Bx2y2,则AB=,即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的的坐标减去的坐标.

2.平面向量的坐标运算.

(1)若a=x1y1,b=

1.(1)互相垂直

(2)单位向量xi+yj有序数对xyx轴y轴a=xy

(3)100100

(4)xy

A.20B.-22C.02

2.已知b=12,

A.-3-12B.-312C.312

3.若A2-1,B-13

A.12B.-1-2C.-34

答案

1.C(点拨:a-

2.D(点拨:a

3.C(点拨:∵AB的坐标等于B的坐标减去A的坐标,

新知探究

探究点1平面向量的正交分解及坐标表示

知识详解

如图,在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取ij作为基底.对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得

这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把有序数对xy叫做向量a的坐标,记作a=(x,y)

其中,x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,②叫做向量a的坐标表示.

[特别提示]i

典例探究

例1已知O是坐标原点,点A在第一象限,|OA|=43,∠xOA=60°,

解析:设Axy,利用三角函数的知识分别求出x和y的值后可得向量OA

答案如图,设Axy,由三角函数的定义

sin

x=|OA

变式训练1如图,在直角坐标系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,OA=a,AB

(1)求向量a,b

(2)求向量BA的坐标.

答案:(1)作AM⊥x轴于点M,则OM=OA?cos45°=4×22=22,AM=OA?sin45°=4×22=22,∴A22

(2)BA=-

探究点2平面向量加、减运算的坐标表示

知识详解

1.已知a=x1y

即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).

2.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终

点的坐标减去起点的坐标.即若Ax1y1

[特别提示]

两向量相等的条件是它们对应的横、纵坐标分别相等,但起点、终点的坐标却可以不同,例如,A35,B(6,8),C-53,D-26,则

典例探究

例2已知A-24,B3-1,C-3

解析:先分别求出向量AB,BC,CD

答案:由已知得a=5

方法技巧

向量的坐标运算主要是利用加、减法则进行.若已知有向线段两个端点的坐标,则可先求出此有向线段所对应向量的坐标,再进行坐标运算,解题过程中注意方程思想的运用及运算法则的正确使用.

变式训练2在ΔABC中,AB=24,

A.3

B.3

C.1

D.-1

答案D

点拨∵AB

易错易混解读

例已知平面内三个点的坐标分别为A-21,B-13,C34,求点D

错解:由四边形ABCD为平行四边形,得AB=DC,可解得

错因分析:错解混淆了“以A,B,C,D为顶点构成平行四边形”与“四边形ABCD为平行四边形”这两个不同概念,忽略了其他情形,从而造成了漏解.

正解:由四边形ABCD为平行四边形,得AB=DC,可解得

由四边形ABDC为平行四边形,得AB=CD,可解得

由四边形ADBC为平行四边形,得AD=CB,可解得

因此,使A,B,C,