2024新高考数学二轮总复习专题六统计与概率6.4.2随机变量及其分布学案含解析.docxVIP

PAGE

6.4.2随机变量及其分布

必备学问精要梳理

1.超几何分布

在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=CMkCN-Mn-kCNn,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M

2.二项分布

一般地,在n次独立重复试验中,事务A发生的次数为X,设每次试验中事务A发生的概率为p,则P(X=k)=Cnkpkqn-k,其中0p1,p+q=1,k=0,1,2,…,n,称X听从参数为n,p的二项分布,记作X~B(n,p),且E(X)=np,D(X)=np(1-p

3.正态分布

一般地,假如对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足P(aX≤b)=abφμ,σ(x)dx,则称X的分布为正态分布.正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作N(μ,σ2).假如随机变量X听从正态分布,则记为X~N(μ,σ2).满足正态分布的三个基本概率的值是:①P(μ-σX≤μ+σ)=0.6826;②P(μ-2σX≤μ+2σ)=0.9544;③P(μ-3σX≤μ+3σ)=0.9974

4.离散型随机变量的分布列

设离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则称下表为离散型随机变量X的分布列.

X

x1

x2

x3

…

xi

…

xn

P

p1

p2

p3

…

pi

…

pn

关键实力学案突破

热点一

依据频率求概率的综合问题

【例1】某公司为了解用户对其产品的满足度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满足度评分如下:

A地区:62738192958574645376

78869566977888827689

B地区:73836251914653736482

93486581745654766579

(1)依据两组数据完成两地区用户满足度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满足度评分的平均值及分散程度(不要求计算出详细值,给出结论即可);

(2)依据用户满足度评分,将用户的满足度从低到高分为三个等级:

满足度评分

低于70分

70分到89分

不低于90分

满足度等级

不满足

满足

特别满足

记事务C:“A地区用户的满足度等级高于B地区用户的满足度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.依据所给数据,以事务发生的频率作为相应事务发生的概率,求C的概率.

解题心得频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率,在实际问题中,常用事务发生的频率作为概率的估计值.频率本身是随机的,而概率是一个确定的数,是客观存在的,因此概率与每次试验无关.

(1)利用基本概念:①互斥事务不行能同时发生;②对立事务是互斥事务,且必需有一个要发生.

(2)利用集合的观点来推断:设事务A与B所含的结果组成的集合分别是A,B,全集为I.①事务A与B互斥,即集合A∩B=?;②事务A与B对立,即集合A∩B=?,且A∪B=I,也即A=?IB或B=?IA.

(3)对立事务是针对两个事务来说的,而互斥事务则可以是多个事务间的关系.

(4)假如A1,A2,…,An中任何两个都是互斥事务,那么我们就说A1,A2,…,An彼此互斥.

(5)若事务A1,A2,A3,…,An彼此互斥,则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).

应用互斥事务的概率加法公式解题时,肯定要留意首先确定各个事务是否彼此互斥,然后求出各事务分别发生的概率,再求和.对于较困难事务的概率,可以转化为求其对立事务的概率.

(6)将所求事务转化成彼此互斥的事务的和