浙江省杭州市严州中学新安江校区2024-2025学年高二上学期阶段性测试数学试题(解析版).docx

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浙江省严州中学新安江校区2024学年第一学期高二年级

数学学科阶段性测试卷

一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知,,且,则向量与的夹角为()

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】先由求出,再利用空间向量的夹角公式求解即可

设向量与的夹角为,

因为,,且,

所以,得,

所以,

所以,

因为,所以,

故选:A

2.已知、、是三个不同的平面,、、是三条不同的直线,则()

A.若,,则 B.若,,,则

C.若,,,则 D.若,且,则

【答案】B

【解析】

【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.

对于A:若,,则或与相交或与异面,故A错误;

对于B:根据面面平行的性质定理可知,若,且,,则,故B正确;

对于C:若,,则,又,则或与相交或与异面,故C错误;

对于D:若,且,则或,故D错误.

故选:B

3.设点,点C关于面对称的点为D,则线段的中点P到点D的距离为()

A.2 B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出对称点和中点坐标,由两点间距离公式计算.

点C,D关于面对称,则有,

由中点坐标公式得的中点的坐标为,

所以.

故选:C.

4.“”是“两条直线平行”的()

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据直线平行的等价条件求出,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

因为两条直线平行,

所以直线斜率相等或斜率不存在,

当两直线斜率不存在时,即,两直线为x=1,成立;

当两直线斜率存在时,即,解得,两直线成立,

综上或.

所以“”是“两条直线平行”的充分不必要条件.

故选:A.

【点睛】

5.已知点,,若直线:与线段有公共点,则k的取值范围是()

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据直线:过定点,求出,再根据直线:与线段有公共点,利用数形结合法求解.

解:如图所示:

直线:过定点,,

因为直线:与线段有公共点,

所以,

故选:D

6.圆锥的底面半径为,高为2,点是底面直径所对弧的中点,点是母线的中点,则异面直线与所成角的余弦值为()

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系,利用向量法求得正确答案.

设是圆锥底面圆心,以为原点,建立如图所示空间直角坐标系,

,,

,设直线与所成角为,

则.

故选:B

7.正方体的棱长为1,则平面与平面的距离为()

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】将平面与平面的距离转化为点到平面的距离,建立空间直角坐标系,,然后用空间向量求解

由正方体的性质:∥,∥,

,,

且平面,平面,

平面,平面,

所以平面平面,

则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离.

以为坐标原点,所在的直线分别为轴

建立空间直角坐标系,如图所示:

由正方体的棱长为1,所以,,,

,,

所以,,

,.

连接,

由,,

所以,

且,

可知平面,

得平面的一个法向量为,

则两平面间的距离:

故选:D.

8.如图,在棱长为1的正方体中,为线段上的点,且,点在线段上,则点到直线距离的最小值为()

A B. C. D.1

【答案】C

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系,借助空间向量求出点到直线距离的函数关系,再求其最小值作答.

由题意以为原点,所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系:

因为正方体棱长为1,,

所以,

不妨设,

所以,

而,

所以点到直线投影数量的绝对值为,

所以点到直线距离,

等号成立当且仅当,即点到直线距离的最小值为.

故选:C.

二、多选题:本题共3小题,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.

9.已知空间向量,,下列说法正确的是()

A.若,则

B.若,则

C.若在上的投影向量为,则

D.若与夹角为锐角,则

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A:结合向量垂直的性质即可求解;

对于B:结合向量的四则运算即可求解;

对于C:利用投影的几何意义即可求解;

对于D:根据向量的夹角公式即可求解.

对于A:,,

即:,

解得:.

故A选项正确;

对于B:,

,解得:.

故B选项正确;

对于C:在上的投影向量为:,

即,代入坐标化简可得:,无解,

故C选项错误;

对于D:与夹角为锐角,

,解得:,

且与不共线,即,解得:,

所以与夹角为锐角时,解得:.

故D选项正确;

故选:ABD.

10.下列说法正确的是()

A.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2

B.点关于直线的对称点为

C.过,两点的直线方程为

D.经过点且在x轴和轴上截距都相等的直线方程

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