浙江省杭州市严州中学新安江校区2024-2025学年高二上学期阶段性测试数学试题（解析版）.docx

浙江省严州中学新安江校区2024学年第一学期高二年级

数学学科阶段性测试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知，，且，则向量与的夹角为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】先由求出，再利用空间向量的夹角公式求解即可

设向量与的夹角为，

因为，，且，

所以，得，

所以，

所以，

因为，所以，

故选：A

2.已知、、是三个不同的平面，、、是三条不同的直线，则（）

A.若，，则 B.若，，，则

C.若，，，则 D.若，且，则

【答案】B

【解析】

【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.

对于A：若，，则或与相交或与异面，故A错误；

对于B：根据面面平行的性质定理可知，若，且，，则，故B正确；

对于C：若，，则，又，则或与相交或与异面，故C错误；

对于D：若，且，则或，故D错误.

故选：B

3.设点，点C关于面对称的点为D，则线段的中点P到点D的距离为（）

A.2 B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出对称点和中点坐标，由两点间距离公式计算．

点C，D关于面对称,则有，

由中点坐标公式得的中点的坐标为，

所以．

故选：C．

4.“”是“两条直线平行”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据直线平行的等价条件求出，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

因为两条直线平行，

所以直线斜率相等或斜率不存在，

当两直线斜率不存在时，即，两直线为x=1，成立；

当两直线斜率存在时，即，解得，两直线成立，

综上或.

所以“”是“两条直线平行”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】

5.已知点，，若直线：与线段有公共点，则k的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据直线：过定点，求出，再根据直线：与线段有公共点，利用数形结合法求解.

解：如图所示：

直线：过定点，，

因为直线：与线段有公共点，

所以，

故选：D

6.圆锥的底面半径为，高为2，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案.

设是圆锥底面圆心，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

，，

，设直线与所成角为，

则.

故选：B

7.正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】将平面与平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解

由正方体的性质：∥,∥，

，，

且平面，平面，

平面，平面，

所以平面平面，

则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离．

以为坐标原点，所在的直线分别为轴

建立空间直角坐标系，如图所示：

由正方体的棱长为1，所以，，，

，，

所以，，

，．

连接，

由，，

所以，

且，

可知平面，

得平面的一个法向量为，

则两平面间的距离：

．

故选：D.

8.如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（）

A B. C. D.1

【答案】C

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，借助空间向量求出点到直线距离的函数关系，再求其最小值作答.

由题意以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：

因为正方体棱长为1，，

所以，

不妨设，

所以，

而，

所以点到直线投影数量的绝对值为，

所以点到直线距离，

等号成立当且仅当，即点到直线距离的最小值为.

故选：C.

二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．

9.已知空间向量，，下列说法正确的是（）

A.若，则

B.若，则

C.若在上的投影向量为，则

D.若与夹角为锐角，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A：结合向量垂直的性质即可求解；

对于B：结合向量的四则运算即可求解；

对于C：利用投影的几何意义即可求解；

对于D：根据向量的夹角公式即可求解.

对于A：，，

即：，

解得：.

故A选项正确；

对于B：，

，解得：.

故B选项正确；

对于C：在上的投影向量为：，

即，代入坐标化简可得：，无解，

故C选项错误；

对于D：与夹角为锐角，

，解得：，

且与不共线，即，解得：，

所以与夹角为锐角时，解得：.

故D选项正确；

故选：ABD.

10.下列说法正确的是（）

A.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2

B.点关于直线的对称点为

C.过，两点的直线方程为

D.经过点且在x轴和轴上截距都相等的直线方程