专题01 二次函数存在性问题训练1（等腰三角形和直角三角形精选30道）（解析版） .docxVIP

专题01二次函数存在性问题训练1

（等腰三角形和直角三角形精选30道）

【类型一存在性等腰三角形】

1．如图，抛物线y=?x2+5x?4与x轴交于点A和点B，与y

??

(1)在抛物线的对称轴上找一点D，使DA+DC最短，求出D点坐标；

(2)P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求P点坐标．

【答案】(1)D

(2)P

【分析】（1）连接BC，根据题意得到当点B，C，D三点共线时，DA+DC最短，即BC的长度，然后求出BC所在直线表达式为y=x?4，然后个x=5

（2）根据题意画出图形，然后求出AB=4?1=3，OA=1，根据题意AB=AP=3，然后利用勾股定理求解即可．

【详解】（1）如图所示，连接BC，

??

∵抛物线y=?x2+5x?4与x轴交于点A

∴点A和点B关系对称轴对称

∵DA+DC=DB+DC≤BC

∴当点B，C，D三点共线时，DA+DC最短，即BC的长度，

∵抛物线y=?

∴对称轴为x=?

当x=0时，y=?4

∴C

当y=0时，?

解得x1=1

∴A1,0，

设BC所在直线表达式为y=kx+b

∴4k+b=0b=?4，解得

∴BC所在直线表达式为y=x?4

∴将x=52代入y=x?4

∴D5

（2）如图所示，

??

∵A1,0，

∴AB=4?1=3，OA=1

∵△PAB是以AB为腰的等腰三角形

∴AB=AP=3

∴PO=

∴P0,2

【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．

2．抛物线y=ax2?2ax+m与x轴交于A?1,0和B两点，与

??

(1)求此抛物线解析式；

(2)如图1，E为线段CB上一点，作DE∥OC交抛物线于D，DE的长度最大时，求点

(3)如图2，E为射线CB上一点，D在抛物线上，D、E均位于x轴上方，且使∠DAB=∠OCB，当△ADE为等腰三角形时，求E点坐标.

【答案】(1)y

(2)E

(3)E1+21,21

【分析】（1）将A?1,0、C

（2）先求出直线BC表达式，设点E横坐标c，表示出点E和点D坐标，即可表示DE，利用配方求出DE的长度最大时c得值，便可求出坐标；

（3）根据∠DAB=∠OCB可求出点D坐标，当△ADE为等腰三角形时，分情况求出E点坐标即可．

【详解】（1）解：由题意得：将A?1,0、C0,?3代入

m=?3a+2a+m=0

解得：m=?3a=1

∴抛物线解析式y=

（2）解：抛物线解析式y=x2?2

∴C0,?3

令y=0，则x1=?1，

∴B3,0

设直线BC表达式为y=kx+b，将B、C两点坐标代入：

b=?33k+b=0

解得：b=?3k=1

∴直线BC表达式为y=x?3，

设点Ec,c?3

因为DE∥OC交抛物线于

∴Dc,

∴DE=c?3

∴当c=32时，

把x=32代入y=x?3得：

∴E3

（3）解：∵B3,0，C

∴△OBC为等腰直角三角形，∠OCB=45°，

∵∠DAB=∠OCB，

∴∠DAB=45°，

作DH⊥x轴于点H，则AH=DH，

设OH=n，则DH=AH=1+n，

∴Dn,1+n

将Dn,1+n

1+n=n2

解得：n1=4，

∴D4,5

∵E为射线CB上一点，

设Ex,x?3

∵D4,5，A

∴AD2=

AE

当△ADE为等腰三角形时，??

①当AD=AE时，则AD

∴50=2x

解得：x1=1+21

∴E1+

②当DA=DE时，则DA

∴2

解得：x1=6+21

∴E6+

③当AE=DE时，则AE

∴2x

解得：x=7

∴E7

综上所述，E1+21,21?2

??

【点睛】本题考查二次函数的图象及性质、抛物线与x轴的交点，等腰三角形判定与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

3．如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为(?6,0)，(0,6)，对称轴x=?2交x轴于E

??

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是直线AC下方的抛物线上一点，且SΔPAC=2

(3)M为抛物线对称轴上一点，是否存在以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)y=?

(2)(2,0)，(?8,?10)

(3)?2，0或(?2，2)

【分析】（1）由点A、点C的坐标和对称轴的值列出方程组，即可求出抛物线解析式．

（2）由抛物线解析式可求出顶点D的坐标，进而求出△DAC和△PAC的面积，由面积可推出△PAC的AC边上的高?，求出到AC距离等于?的直线解析式，联立直线解析式和抛物线解析式，即可求出点P的坐标．

（3）若ΔBCM是等腰三角形，通过作图画“两圆一线”来确定点M的位置，再根据半径的长度及勾股定理求出点M

【详