等比数列及其前n项和.pptx

等比数列及其前n项和

链教材夯基固本

1．在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q＝ ()激活思维【解析】D

2．(人A选必二P29例1改)若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，则a5等于 ()A．24 B．－24 C．24或－24 D．384或－384C【解析】

D【解析】

4．(多选)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是 ()AD【解析】

5．(人A选必二P31T3改)在等比数列{an}中，已知a1a3＝36，a2＋a4＝60，则a1＋q＝_______．±5【解析】

1．等比数列的有关概念G聚焦知识G2＝ab

aman＝apaq

研题型能力养成

(1)(2023·天津卷)已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为 ()A．3 B．18C．54 D．152等比数列的基本量运算目标1举题说法1C【解析】由题意可得，当n＝1时，a2＝2a1＋2，即a1q＝2a1＋2①；当n＝2时，a3＝2(a1＋a2)＋2，即a1q2＝2(a1＋a1q)＋2②；联立①②可得a1＝2，q＝3，则a4＝a1q3＝54.

(2)(2023·全国甲卷理)已知正项等比数列{an}中，a1＝1，Sn为{an}的前n项和，S5＝5S3－4，则S4＝ ()A．7 B．9C．15 D．30C1【解析】由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.由题知q＞0，所以q＝2.所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.

变式(2023·全国乙卷理)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝_______．－2【解析】

(2023·南通三模)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝5，an＋2＝5an＋1－6an.(1)求证：{an＋1－2an}是等比数列；等比数列的判定与证明目标22【解答】

【解答】(2023·南通三模)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝5，an＋2＝5an＋1－6an.(2)求证：存在两个等比数列{bn}，{cn}，使得an＝bn＋cn成立．2

变式设数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－n(n∈N*).(1)求a1的值及an与an－1的关系；因为Sn＝2an－n(n∈N*)，所以S1＝2a1－1，又S1＝a1，所以a1＝2a1－1，故a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－n)－[2an－1－(n－1)]，得an＝2an－1＋1.(2)求证：{an＋1}是等比数列，并求出{an}的通项公式．【解答】【解答】

(1)已知正项等比数列{an}满足a2a9＋a4a7＝16，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝ ()A．15 B．14C．13 D．12等比数列的性质及其应用目标33A【解析】因为正项等比数列{an}满足a2a9＋a4a7＝16，所以a4a7＝8，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝log2(a4·a7)5＝5log2(a4·a7)＝5log28＝5×3＝15.

(2)(2023·扬州期初)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S3＝4，S6＝12，则S9＝______．283【解析】因为{an}为等比数列，所以数列S3，S6－S3，S9－S6也为等比数列，所以有S3(S9－S6)＝(S6－S3)2，得4(S9－12)＝(12－4)2，所以S9＝28.

1．在等比数列{an}中，设a2，a8为方程x2－4x＋π＝0的两个根，则a3a5a7的值为 ()C【解析】

2．(2023·佛山调研)已知数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和．若S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20的值为______．40【解析】因为S30＝13S10，S10＋S30＝140，所以S10＝10，S30＝130，则等比数列{an}的公比q≠－1，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也是等比数列，所以S10，S20－S10，S30－S20也是等比数列，所以(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(130－S20)，解得S20＝40或S20＝－30，又S20＝S10(1＋q10)＞0，所以S20＝40.

3．(多选)在正项等比数列{an}中，公比为q，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an＋1an＋2an＋3＝324，则下列说法正确的是 ()【解析】BD

随堂内化1．(2023·吉林二调)已知{an}是等比数列，下列数列一定是等比数列的