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高等数学案例教学教案

（刘凤林）

【案例一】房贷还款问题

模型背景：

我校王教授今年准备贷款买一套房子，需要贷款50万元，预计20年还清.现行贷款年率为7.04%，如果按9折优惠，计算王教授按以下哪种还款方式更好？一是等额本息还款法；二是等额本金还款法.

模型假设：（1）贷款50万元；

（2）20年还清；

（3）贷款年率为7.04%，按9折优惠，实际月利率0.528%.

符号说明：：贷款额；

：月利率（每期利率）；

：等额本息还款法中，每月的还款额；

：等额本金还款法中，第个月的还款额；

：第期结束时的欠款；

：借款期限（单位：月）.

模型建立：（1）等额本息还款：

第一期后欠款：；

第二期后欠款：；

第三期后欠款：；

依此类推，第期后欠款：（）.

（2）等额本金还款：

第一期还款：；

第二期还款：；

第二期还款：；

依此类推，第期还款：（）.

模型求解：（1）等额本息还款：

.

要想个月还清贷款，则有，此时，解得，将代入上式，得（元），

即每月还款（元），20年共还款（元）.

（2）等额本金还款：这种还款额度的计算需要借助于计算机，通过计算机计算，得到（元）、（元）、（元）、（元），20年共还款（元）.

模型分析：比等额本息还款少还款（元），但是前期还款压力较大.

【案例二】分针与时针重合问题

模型假设：(1)钟面分为60格；(2)分针1min转过1格，1h转过60格，时针1h转过5格.

符号说明：（1）：分针位置（追赶序列）；

（2）：时针的位置（逃逸序列）；

（3）：分针与时针重合的位置.

模型建立：

我们不难发现，分针速度是时针速度的12倍，并且在1h内分针与时针最多重合一次.因此从整点（）开始，分针位于时针之前格.此时

；

当分针行走格（即追到最先时针位置）时，时针走（逃）了格，这时；

当分针又走（追）了格（即此前时针走过的格数）时，时针又走（逃）了格，这时

；

当分针再走（追）了格（即上次时针针走过的格数）时，时针又走（逃）了格，此时

；

依此类推，

，

.

模型求解：

分针与时针位置差为，显然，于是点之后分针与时针重合的位置为

（或

（）.

当时，，即1点后重合时间大约为1点5分27.27秒；

当时，，即2点后重合时间大约为2点10分54.55秒；

以后再重合的时间分别为3点16分21.82秒、4点21分49.09秒、5点27分16.36秒、6点32分43.64秒、7点38分10.91秒、8点43分38.18秒、9点49分5.45秒、10点54分32.73秒、11点60分0.00秒（即12点整）.

模型分析：由于时针、分针都是匀速运动，且12小时内它们要重合11次，每次重合间的时间都应该是相等的，而5分27.27秒，所以它们每隔大约1小时5分27.27秒重合一次，上面的解也验证了这一事实.

【案例二】饮料罐形状设计

模型背景：

听装百事可乐罐大体为圆柱体形状，全高为11.7cm、主体部分的高为9.5cm、底与顶盖部分的高为1.2cm、主体部分的直径为6.6cm、底与顶盖部分的直径为5.9cm.容积为352ml但是为安全起见实际只装330ml.另外顶盖部分的材质好于侧面.

模型假设：圆柱形有盖饮料罐

符号说明：：饮料罐底的半径（单位：）；

：饮料罐底的高（单位：）；

：饮料罐侧面与底材料单位造价（单位：元）；

：饮料罐顶盖材料单位造价（单位：元，其中）；

：饮料罐总造价.

模型建立：

饮料的密度与水的密度大体是相等的，所以饮料罐的体积为,于是，即.

饮料罐侧面造价为：（元）；

饮料罐底的造价为：；饮料罐顶盖的造价为：（元）；

饮料罐总造价为：（）.

模型求解：

根据一元函数最值求法，由，得唯一驻点，，所以是的唯一极小值点，也是最小值点，于是当（此时）时，饮料罐的造价最低.

模型结果分析：根据材料的使用与技术要求，顶盖单位造价大约是侧面与底面单位造价的3倍，这时，求得，，这与实际情况比较吻合.

其实，你要细心一点就会发现，百事可乐罐不是标准的圆柱体形状，为了美观它的上部是一个高为1，上、下底半径分别为2.95、3.3的圆台，下半部分是一个高9.5，半径为3.3的圆柱体，这样和起来容积大约是355.