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2024届新高三开学摸底考试卷（全国卷）
文科数学02·参考答案
1
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7
8
9
10
11
12
D
C
D
C
B
A
A
D
D
A
A
B
13．
14．
15．
16．60°
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，，
所以，，
又由，得，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）得，，
所以，，
所以，
所以．
18．(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【详解】(1)证明：过点作的平行线，交于点，连接.
过点作的平行线交于点，连接.
则四边形为平行四边形，有平行且等于.
因为，所以.
因为，所以，
故，所以，
又，所以四边形为平行四边形，有平行且等于，
所以平行且等于，四边形为平行四边形，有.
又平面，平面，所以平面.
(2)证明：因为，，所以.
因为平面与平面垂直，且交线为，又平面，
所以平面，又平面，所以.
又由(1)知，所以.
19．(1)
(2)
(3)分布列见解析，40
【详解】（1）将得分为50分记为事件A；得分为50分即在六个问题的结果中，有五个满意，一个不满意，
可能的结果共有：（种）
三名顾客产生的反馈结果总共有：（种）
则，∴购物中心得分为50分的概率为
（2）将顾客丙投出一个不满意记为事件B，则
，，
（3）可能的取值为2、3、4、5、6
，
，
2
3
4
5
6
∵，∴．
20．(1)；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题意知右焦点F(1，0)，，又，
则，，
所以椭圆的标准方程为：；
（2）设，，
由可得，
则，，
又，B（2，0），，
法一：，由得，
∴
即λ为定值．
法二：
即λ为定值．
21．(1)
(2)
【详解】(1)的定义域为，
，则，
，故切线方程为，
即.
(2)恒成立，其中，所以，
记，
则，
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增，，
则实数的取值范围为.
22．（1）；（2）.
【详解】（1）等价于①
将代入①既得曲线C的直角坐标方程为
，②
（2）将代入②得，
设这个方程的两个实根分别为
则由参数t的几何意义既知，.
23．（1）（2）m≤﹣或m≥1．
【详解】（Ⅰ）不等式f（x）＜8，即|2x+3|+|2x﹣1|＜8，
可化为①或②或③，…
解①得﹣＜x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x＜，
综合得原不等式的解集为{x|-}．
（Ⅱ）因为∵f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|≥|（2x+3）﹣（2x﹣1）|=4，
当且仅当﹣≤x≤时，等号成立，即f（x）min=4，…
又不等式f（x）≤|3m+1|有解，则|3m+1|≥4，解得：m≤﹣或m≥1．
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