重难点突破01 数列的综合应用（十三大题型）.docx

重难点突破01数列的综合应用

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳与总结 3

题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用 3

题型二：数列不动点与递推问题 5

题型三：数列与函数、不等式的综合问题 6

题型四：数列在实际问题中的应用 6

题型五：数列不等式的证明 7

题型六：公共项问题 9

题型七：插项问题 10

题型八：蛛网图问题 11

题型九：整数的存在性问题（不定方程） 13

题型十：数列与函数的交汇问题 14

题型十一：数列与导数的交汇问题 15

题型十二：数列与概率的交汇问题 17

题型十三：数列与几何的交汇问题 18

03过关测试 20

1、解决数列与数学文化相交汇问题的关键

2、新定义问题的解题思路

遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．

3、数列与函数综合问题的主要类型及求解策略

①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．

②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．

注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．

4、数列与不等式综合问题的求解策略

解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决．

利用等价转化思想将其转化为最值问题.

恒成立；

恒成立.

5、现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知识去解决．

（1）数列实际应用中的常见模型

①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；

②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；

③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第项与第项的递推关系还是前项和与前项和之间的递推关系．

在实际问题中建立数列模型时，一般有两种途径：一是从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；二是从一般入手，找到递推关系，再进行求解．一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增加或减少要用等差数列，有的问题需通过转化得到等差或等比数列，在解决问题时要往这些方面联系．

（2）解决数列实际应用题的3个关键点

①根据题意，正确确定数列模型；

②利用数列知识准确求解模型；

③问题作答，不要忽视问题的实际意义．

6、在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为放缩法.

放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式的分子（或分母）.

放缩法证不等式的理论依据是：；.

放缩法是一种重要的证题技巧，要想用好它，必须有目标，目标可从要证的结论中去查找.

题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用

【典例1-1】（2024·重庆九龙坡·三模）正整数的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（????）

（参考数据：，，）

A．10 B．9 C．8 D．7

【典例1-2】（2024·黑龙江佳木斯·三模）《算法统宗》是一部中国古代数学名著，全称为《新编直指算法统宗》，由明代数学家程大位所著．该书在万历二十一年（即公元1593年）首次刊行，全书共有17卷．其主要内容涵盖了数学名词、大数与小数的解释、度量衡单位以及珠算盘式图和各种算法的口诀等基础知识．同时，书中还按照“九章”的次序列举了多种应用题及其解法，并附有图式说明．此外，《算法统宗》还包括了难题解法的汇编和不能归入前面各类别的杂法算法等内容．其中有一首诗，讲述了“竹筒容米”问题．诗云：‘家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上稍四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明’（【注释】三升九：3.9升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学数学知识求该九节竹一共盛米多少升?（????）??????

A．8.8升 B．9升 C．9.1升 D．9.2升

【变式1-1】（2024·北京朝阳·二模）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一