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重难点04：双曲线中定点、定值、定直线及向量问题
考点01：双曲线中直线过定点问题
1．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，P为双曲线右支上的一点，为的内心，且.
(1)求C的离心率；
(2)设点为双曲线C右支上异于其顶点的动点，直线与双曲线左支交于点S.双曲线的右顶点为，直线，分别与圆O：相交，交点分别为异于点D的点M，N，判断直线是否过定点，求出定点，如果不过定点，请说明理由.
【答案】(1)2
(2)过定点
【分析】（1）由题意画出图形，由已知向量等式可得，结合，得，又，则，由此可得双曲线的离心率；
（2）设直线ST的方程为：，与双曲线方程联立，利用根与系数的关系证明，即可得结论.
【详解】（1）如图所示，
??
延长IP到A且，延长到B且，
由，得，
∴I是的重心，，同理，，
即，
又，，，
，又I是的内心，则，
由，得，又，则，即；
（2）弦MN过定点,
??
由已知右顶点，结合（1）得，，，
所以双曲线方程为.
则，，
设点，直线ST的方程为：，
联立，得，
则，，，，
则
，
即，也就是，
∴MN为圆O的直径，故弦MN恒过圆心.
【点睛】思路点睛：
（1）向量条件合理转化是关键，延长IP到A且，延长到B且，由，得，∴I是的重心，
进一步，又I是的内心，则，结合双曲线定义得解；
（2）设出直线ST的方程为：与双曲线联立，利用根与系数的关系证明，即可得结论.
2．已知点为双曲线上一点，的左焦点到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点为.
【分析】（1）由点到直线的距离公式求出，再将点代入双曲线方程求出，可得双曲线的标准方程；
（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得、，再根据斜率和为列式，推出，从而可得直线过定点.
【详解】（1）设到渐近线，即的距离为，
则，结合得，
又在双曲线上，所以，得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）联立，消去并整理得，
则，，即，
设，，
则，，
则
，
所以，
所以，
所以，
整理得，
所以，
所以，
因为直线不过，即，，
所以，即，
所以直线，即过定点.
????
【点睛】关键点点睛：利用韦达定理和斜率公式推出是解题关键.
3．已知双曲线：（，）的离心率为，右顶点到渐近线的距离等于.
(1)求双曲线的方程.
(2)点，在上，且，直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)直线过定点
【分析】（1）利用点到直线的距离公式，的关系和离心率即可求解.
（2）由题知直线的斜率存在且不为，设直线：，与的方程联立，可得，因为，用代替，同理解得，进而表示出直线的方程，即可得解.
【详解】（1）由题意，取渐近线，
右顶点到该渐近线的距离，
又，，解得，，，
的方程为.
（2）由题意知直线的斜率存在且不为，
设直线：，
与的方程联立，消去得，
易知，
由韦达定理得，则.
因为，所以，
用代替（显然此时），
同理得，
得，
直线：，
过定点.
当时，直线的斜率不存在，
易知直线的方程为，过左焦点.
综上，直线过定点.
??
4．已知双曲线的实轴长为，C的一条渐近线斜率为，直线l交C于P，Q两点，点在双曲线C上.
(1)若直线l过C的右焦点，且斜率为，求的面积；
(2)设P，Q为双曲线C上异于点的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为，，若，求证：直线PQ过定点.
【答案】(1)
(2)证明见详解.
【分析】（1）根据双曲线离心率公式，结合双曲线焦距定义求出双曲线的方程联立进行求解即可；
（2）设出直线方程与双曲线方程联立，根据一元二次方程根的判别式、根与系数关系，结合直线斜率公式进行求解即可.
【详解】（1）如图：
??
因为双曲线的实轴长为，
所以，即.又因为C的一条渐近线斜率为，
所以，所以，故双曲线.
则其右焦点坐标为，因为直线l过C的右焦点，且斜率为，
所以直线l的方程为：，设，.
联立得：，
所以由韦达定理得：，.
所以，
点到直线l的距离为：.
所以.
（2）证明：如图
????
设直线PQ的方程为：，设，.
联立得：.
，即
所以：，.
而，则，.
因为，所以
整理的：，
所以，
所以：，
所以，
整理得：，
代入韦达定理得：，
所以，
整理得：，
即，则或.
当时，直线线PQ的方程为：，所以过定点；
当时，直线线PQ的方程为：，所以过定点.
即为，因为P，Q为双曲线C上异于点的两动点，所以不符合题意.
故直线PQ过的定点为.
【点睛】与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理建立关系即可解决问题.
5．已知双曲线的方程为：，左右焦点分别为，是线段的中点，过点作
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