重难点04:双曲线中定点、定值、定直线及向量问题-2023-2024学年高二数学高分必刷常考题型专练(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版).docx

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重难点04:双曲线中定点、定值、定直线及向量问题

考点01:双曲线中直线过定点问题

1.已知双曲线C:(,)的左、右焦点分别为,,P为双曲线右支上的一点,为的内心,且.

(1)求C的离心率;

(2)设点为双曲线C右支上异于其顶点的动点,直线与双曲线左支交于点S.双曲线的右顶点为,直线,分别与圆O:相交,交点分别为异于点D的点M,N,判断直线是否过定点,求出定点,如果不过定点,请说明理由.

【答案】(1)2

(2)过定点

【分析】(1)由题意画出图形,由已知向量等式可得,结合,得,又,则,由此可得双曲线的离心率;

(2)设直线ST的方程为:,与双曲线方程联立,利用根与系数的关系证明,即可得结论.

【详解】(1)如图所示,

??

延长IP到A且,延长到B且,

由,得,

∴I是的重心,,同理,,

即,

又,,,

,又I是的内心,则,

由,得,又,则,即;

(2)弦MN过定点,

??

由已知右顶点,结合(1)得,,,

所以双曲线方程为.

则,,

设点,直线ST的方程为:,

联立,得,

则,,,,

即,也就是,

∴MN为圆O的直径,故弦MN恒过圆心.

【点睛】思路点睛:

(1)向量条件合理转化是关键,延长IP到A且,延长到B且,由,得,∴I是的重心,

进一步,又I是的内心,则,结合双曲线定义得解;

(2)设出直线ST的方程为:与双曲线联立,利用根与系数的关系证明,即可得结论.

2.已知点为双曲线上一点,的左焦点到一条渐近线的距离为.

(1)求双曲线的标准方程;

(2)不过点的直线与双曲线交于两点,若直线PA,PB的斜率和为1,证明:直线过定点,并求该定点的坐标.

【答案】(1)

(2)证明见解析,定点为.

【分析】(1)由点到直线的距离公式求出,再将点代入双曲线方程求出,可得双曲线的标准方程;

(2)联立直线与双曲线方程,利用韦达定理得、,再根据斜率和为列式,推出,从而可得直线过定点.

【详解】(1)设到渐近线,即的距离为,

则,结合得,

又在双曲线上,所以,得,

所以双曲线的标准方程为.

(2)联立,消去并整理得,

则,,即,

设,,

则,,

所以,

所以,

所以,

整理得,

所以,

所以,

因为直线不过,即,,

所以,即,

所以直线,即过定点.

????

【点睛】关键点点睛:利用韦达定理和斜率公式推出是解题关键.

3.已知双曲线:(,)的离心率为,右顶点到渐近线的距离等于.

(1)求双曲线的方程.

(2)点,在上,且,直线是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.

【答案】(1)

(2)直线过定点

【分析】(1)利用点到直线的距离公式,的关系和离心率即可求解.

(2)由题知直线的斜率存在且不为,设直线:,与的方程联立,可得,因为,用代替,同理解得,进而表示出直线的方程,即可得解.

【详解】(1)由题意,取渐近线,

右顶点到该渐近线的距离,

又,,解得,,,

的方程为.

(2)由题意知直线的斜率存在且不为,

设直线:,

与的方程联立,消去得,

易知,

由韦达定理得,则.

因为,所以,

用代替(显然此时),

同理得,

得,

直线:,

过定点.

当时,直线的斜率不存在,

易知直线的方程为,过左焦点.

综上,直线过定点.

??

4.已知双曲线的实轴长为,C的一条渐近线斜率为,直线l交C于P,Q两点,点在双曲线C上.

(1)若直线l过C的右焦点,且斜率为,求的面积;

(2)设P,Q为双曲线C上异于点的两动点,记直线MP,MQ的斜率分别为,,若,求证:直线PQ过定点.

【答案】(1)

(2)证明见详解.

【分析】(1)根据双曲线离心率公式,结合双曲线焦距定义求出双曲线的方程联立进行求解即可;

(2)设出直线方程与双曲线方程联立,根据一元二次方程根的判别式、根与系数关系,结合直线斜率公式进行求解即可.

【详解】(1)如图:

??

因为双曲线的实轴长为,

所以,即.又因为C的一条渐近线斜率为,

所以,所以,故双曲线.

则其右焦点坐标为,因为直线l过C的右焦点,且斜率为,

所以直线l的方程为:,设,.

联立得:,

所以由韦达定理得:,.

所以,

点到直线l的距离为:.

所以.

(2)证明:如图

????

设直线PQ的方程为:,设,.

联立得:.

,即

所以:,.

而,则,.

因为,所以

整理的:,

所以,

所以:,

所以,

整理得:,

代入韦达定理得:,

所以,

整理得:,

即,则或.

当时,直线线PQ的方程为:,所以过定点;

当时,直线线PQ的方程为:,所以过定点.

即为,因为P,Q为双曲线C上异于点的两动点,所以不符合题意.

故直线PQ过的定点为.

【点睛】与圆锥曲线相交的直线过定点问题,设出直线的方程,与圆锥曲线方程联立,借助韦达定理建立关系即可解决问题.

5.已知双曲线的方程为:,左右焦点分别为,是线段的中点,过点作

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