高思竞赛数学导引-五年级第二十四讲-抽屉原理二学生版.pdfVIP

第24讲抽屉原理二

内容概述

抽屉原理在教字、表格、图形等详细问题中有较困难的应用．可

以依据已知条件合理地选取与设计“抽屉”与“苹果”，有时还应构造

出到达最佳状态的例子．

典型问题

爱好篇

1．将60个红球、8个白球排成一条直线，至少会有多少个红球连在

一起？

2．17名同学参与一次考试，考试题是3道推断题（答案只有对或错），

每名同学都在答题纸上依次写上了3道题目的答案．请问：至少有几

名同学的答案是一样的？

3．随意写一个由数字1、2组成的六位数，从这个六位数中随意截取

相邻两位，可得一个两位数，请证明：在从各个不同位置上截得的全

部两位数中，肯定有两个相等．

4．将1至6这6个自然数随意填在图2，4-1的六个圆圈中，试说

明：图中至少有一行的数字之与不小于8。

5．从l，2，3，…，99，100这100个数中随意选出51个数，请

说明：

(1)在这51个数中，肯定有两个数的差等于50；(2)在这51个数中，

肯定有两个数差1．

6．从1，2，3，…，21这些自然数中，最多可以取出多少个数，使

得其中每两个数的差都不等于4？

7．从1至11这11个自然数中至少选出多少个不同的数，才能保证

其中肯定有两个数的与为12？

8．(1)任给4个自然数，请说明：肯定有两个数的差是3的倍数；

(2)至少取几个数，才能保证肯定有两个数的差是7的倍数？

9．至少找出多少个不同的两位数，才能保证其中肯定存在两个数，它

们的差是个位数字与十位数字一样的两位数．

10．在一个边长为2厘米的等边三角形内（包括边界）选出5个点，

请证明：肯定有两个点之间的间隔不大于1．

拓展篇

1．如图24—2，将2行5列的方格纸每一格染成黑色或白色，请说

明：不管怎么染，总有两列的染色方式是一样的．

2．随意写一个由数字l、2、3组成的三十位数，从这个三十位数中随

意截取相邻三位，可得一个三位数，请证明：在从各个不同位置上截

得的全部三位数中，肯定有两个相等．

3．27只小猴分140颗花生，每只小猴最少分1颗，最多分9颗，请

问：其中至少有几只小猴分到的花生颗数一样多？

4．能否在4×4方格表的每个格子中填l、2、3中的一个数字，使得

每行、每列以及它的两条对角线上的与互不一样？

5．从l至99这99个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中

每两个数的与都不等于1007最多可以取出多少个数，使得其中每两

个数的差不等于5？

6．假如在1，2，…，n中任取19个数，都可以保证其中必有两个

数的差是6，那么n最大是多少？

7．从1至50这50个自然数中至少要选出多少个数，才能保证其中

必有两个数互质？

8．从1至30这30个自然数中取出若干个数，使其中随意两个数的

与都不能被7整除．请问：最多能取出多少个数？

9．请说明：随意5个数中必有3个数的与是3的倍数．

10．任选7个不同的数，请说明：其中必有2个数的与或者差是10

的倍数。

11．有9个人，每人至少与另外5个人互相相识．试证明：可以从中

找到3个人，他们彼此相互相识．

12．(1)在一个边长为1的正方形里放入3个点，以这3个点为顶点

连出的三角形面积最大是多少？

(2)在一个边长为1的正方形中随意放入9个点，这9个点任何三

点不共线，请说明：这9个点中肯定有3个点构成的三角形面积不超

1

过．

8

超越篇

1．从l至12这12个自然数中最多能选出几个数，使得在选出的数

中，每一个数都不是另一个数的倍数？

2．(1)请说明：在随意的68个自然数中，必有两个数的差是67的倍

数；

(2)请说明：在1，11，111，1111，…，这一列数中必有一个是

67的倍数．

3．求证：对于随意的8个自然数，肯定能从中找到6个数a、b、c、

d、e、f，使得

(a–b)×(c–d)×(e–f)